Theorem omsmo 5314

Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
omsmo	|- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> F:om-1-1->A)

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem omsmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff13 4850	. 2 |- (F:om-1-1->A <-> (F:om-->A /\ A.y e. om A.z e. om ((F` y) = (F` z) -> y = z)))
2		simplr 449	. 2 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> F:om-->A)
3		omsmolem 5313	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. om -> (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. z -> (F` y) e. (F` z))))
4	3	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. z -> (F` y) e. (F` z))))
5	4	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((y e. om /\ z e. om) /\ ((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x))) -> (y e. z -> (F` y) e. (F` z)))
6		omsmolem 5313	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))
7	6	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))
8	7	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((y e. om /\ z e. om) /\ ((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x))) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y)))
9	5, 8	orim12d 624	. . . . . . . 8 |- (((y e. om /\ z e. om) /\ ((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x))) -> ((y e. z \/ z e. y) -> ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
10	9	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((y e. z \/ z e. y) -> ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
11	10	con3d 111	. . . . . 6 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> (-. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y)) -> -. (y e. z \/ z e. y)))
12		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ On -> ((F` y) e. A -> (F` y) e. On))
13		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:om-->A /\ y e. om) -> (F` y) e. A)
14	12, 13	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ On -> ((F:om-->A /\ y e. om) -> (F` y) e. On))
15	14	expdimp 406	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ On /\ F:om-->A) -> (y e. om -> (F` y) e. On))
16		eloni 3667	. . . . . . . . . . 11 |- ((F` y) e. On -> Ord (F` y))
17	15, 16	syl6 25	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ On /\ F:om-->A) -> (y e. om -> Ord (F` y)))
18		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ On -> ((F` z) e. A -> (F` z) e. On))
19		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:om-->A /\ z e. om) -> (F` z) e. A)
20	18, 19	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ On -> ((F:om-->A /\ z e. om) -> (F` z) e. On))
21	20	expdimp 406	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ On /\ F:om-->A) -> (z e. om -> (F` z) e. On))
22		eloni 3667	. . . . . . . . . . 11 |- ((F` z) e. On -> Ord (F` z))
23	21, 22	syl6 25	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ On /\ F:om-->A) -> (z e. om -> Ord (F` z)))
24	17, 23	anim12d 617	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ On /\ F:om-->A) -> ((y e. om /\ z e. om) -> (Ord (F` y) /\ Ord (F` z))))
25	24	imp 377	. . . . . . . 8 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> (Ord (F` y) /\ Ord (F` z)))
26		ordtri3 3697	. . . . . . . 8 |- ((Ord (F` y) /\ Ord (F` z)) -> ((F` y) = (F` z) <-> -. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
27	25, 26	syl 12	. . . . . . 7 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((F` y) = (F` z) <-> -. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
28	27	adantlr 429	. . . . . 6 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((F` y) = (F` z) <-> -. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
29		ordtri3 3697	. . . . . . . 8 |- ((Ord y /\ Ord z) -> (y = z <-> -. (y e. z \/ z e. y)))
30		nnord 3959	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> Ord y)
31		nnord 3959	. . . . . . . 8 |- (z e. om -> Ord z)
32	29, 30, 31	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (y = z <-> -. (y e. z \/ z e. y)))
33	32	adantl 424	. . . . . 6 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> (y = z <-> -. (y e. z \/ z e. y)))
34	11, 28, 33	3imtr4d 602	. . . . 5 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((F` y) = (F` z) -> y = z))
35	34	exp32 408	. . . 4 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. om -> (z e. om -> ((F` y) = (F` z) -> y = z))))
36	35	r19.21adv 2181	. . 3 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. om -> A.z e. om ((F` y) = (F` z) -> y = z)))
37	36	r19.21aiv 2175	. 2 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> A.y e. om A.z e. om ((F` y) = (F` z) -> y = z))
38	1, 2, 37	sylanbrc 527	1 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> F:om-1-1->A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  unblem4 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain