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Theorem omsmo 7085
Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmo  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om -1-1-> A )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem omsmo
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om --> A )
2 omsmolem 7084 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) ) )
32adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) ) )
43imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
5 omsmolem 7084 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
76imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) )
84, 7orim12d 834 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
98ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  ( ( F `
 y )  e.  ( F `  z
)  \/  ( F `
 z )  e.  ( F `  y
) ) ) )
109con3d 133 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( -.  ( ( F `  y )  e.  ( F `  z )  \/  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  ->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
11 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : om --> A  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  y
)  e.  A )
12 ssel 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  y )  e.  A  ->  ( F `  y )  e.  On ) )
1311, 12syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  y
)  e.  On ) )
1413expdimp 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( y  e.  om  ->  ( F `  y
)  e.  On ) )
15 eloni 4724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  y )  e.  On  ->  Ord  ( F `  y ) )
1614, 15syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( y  e.  om  ->  Ord  ( F `  y ) ) )
17 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : om --> A  /\  z  e.  om )  ->  ( F `  z
)  e.  A )
18 ssel 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  z )  e.  A  ->  ( F `  z )  e.  On ) )
1917, 18syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  z  e.  om )  ->  ( F `  z
)  e.  On ) )
2019expdimp 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( z  e.  om  ->  ( F `  z
)  e.  On ) )
21 eloni 4724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  z )  e.  On  ->  Ord  ( F `  z ) )
2220, 21syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( z  e.  om  ->  Ord  ( F `  z ) ) )
2316, 22anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( ( y  e. 
om  /\  z  e.  om )  ->  ( Ord  ( F `  y )  /\  Ord  ( F `
 z ) ) ) )
2423imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  ( y  e. 
om  /\  z  e.  om ) )  ->  ( Ord  ( F `  y
)  /\  Ord  ( F `
 z ) ) )
25 ordtri3 4750 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  ( F `  y )  /\  Ord  ( F `  z ) )  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  ( y  e. 
om  /\  z  e.  om ) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
2726adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
28 nnord 6479 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
29 nnord 6479 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
30 ordtri3 4750 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  z )  ->  (
y  =  z  <->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3231adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3310, 27, 323imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
3433ralrimivva 2803 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z ) )
35 dff13 5966 . 2  |-  ( F : om -1-1-> A  <->  ( F : om --> A  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
361, 34, 35sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   Ord word 4713   Oncon0 4714   suc csuc 4716   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413   omcom 6471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fv 5421  df-om 6472
This theorem is referenced by:  unblem4  7559
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