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Theorem omsmeasOLD 29204
Description: The restriction of a constructed outer measure to Catatheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) Obsolete version of omsmeas 29203 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omsmeasOLD.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
omsmeasOLD.s  |-  S  =  (toCaraSiga `  M )
omsmeasOLD.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
omsmeasOLD.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsmeasOLD.d  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
omsmeasOLD.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
omsmeasOLD  |-  ( ph  ->  ( M  |`  S )  e.  (measures `  S
) )

Proof of Theorem omsmeasOLD
Dummy variables  e 
f  x  y  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmeasOLD.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
2 omsmeasOLD.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
3 omsfOLD 29172 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  (toOMeas `  R ) : ~P U. dom  R --> ( 0 [,] +oo ) )
41, 2, 3syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (toOMeas `  R ) : ~P U. dom  R --> ( 0 [,] +oo ) )
5 omsmeasOLD.m . . . . . . 7  |-  M  =  (toOMeas `  R )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  (toOMeas `  R
) )
7 fdm 5755 . . . . . . . . . 10  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
82, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
98eqcomd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  dom  R
)
109unieqd 4221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. Q  =  U. dom  R )
1110pweqd 3967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P U. Q  =  ~P U. dom  R
)
126, 11feq12d 5738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M : ~P U. Q --> ( 0 [,] +oo )  <->  (toOMeas `  R ) : ~P U. dom  R --> ( 0 [,] +oo ) ) )
134, 12mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  M : ~P U. Q
--> ( 0 [,] +oo ) )
14 omsmeasOLD.s . . . . 5  |-  S  =  (toCaraSiga `  M )
15 uniexg 6614 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  V  ->  U. Q  e.  _V )
161, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. Q  e.  _V )
1716, 13carsgcl 29184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (toCaraSiga `  M )  C_  ~P U. Q )
1814, 17syl5eqss 3487 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ~P U. Q
)
1913, 18fssresd 5772 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
20 omsmeasOLD.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
21 omsmeasOLD.0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
225, 1, 2, 20, 21oms0OLD 29177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2316, 13, 220elcarsg 29187 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
2423, 14syl6eleqr 2550 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
25 fvres 5901 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( ( M  |`  S ) `  (/) )  =  ( M `  (/) ) )
2624, 25syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  |`  S ) `  (/) )  =  ( M `  (/) ) )
2726, 22eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  |`  S ) `  (/) )  =  0 )
28 nfcv 2602 . . . . . . . 8  |-  F/_ g
f
29 nfcv 2602 . . . . . . . 8  |-  F/_ f
g
30 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  f  =  g )
3128, 29, 30cbvdisj 4396 . . . . . . 7  |-  (Disj  f  e.  e  f  <-> Disj  g  e.  e  g )
3231anbi2i 705 . . . . . 6  |-  ( ( e  ~<_  om  /\ Disj  f  e.  e  f )  <->  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )
331ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  Q  e.  V )
342ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  R : Q
--> ( 0 [,] +oo ) )
35 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  e  e.  ~P S )
3635elpwid 3972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  e  C_  S )
3718ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  S  C_  ~P U. Q )
3836, 37sstrd 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  e  C_  ~P U. Q )
3938sselda 3443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  f  e.  ~P U. Q )
4039elpwid 3972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  f  C_  U. Q )
41 simprl 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  e  ~<_  om )
425, 33, 34, 40, 41omssubaddOLD 29180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( M `  U_ f  e.  e  f )  <_ Σ* f  e.  e ( M `  f
) )
4316ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  U. Q  e. 
_V )
4413ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  M : ~P U. Q --> ( 0 [,] +oo ) )
4522ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
46 uniiun 4344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
4746fveq2i 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M `
 U. x )  =  ( M `  U_ y  e.  x  y )
4813ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q
)  ->  Q  e.  V )
4923ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q
)  ->  R : Q
--> ( 0 [,] +oo ) )
50 simpl3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_ 
~P U. Q )
51 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
5250, 51sseldd 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ~P U. Q )
5352elpwid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q )  /\  y  e.  x )  ->  y  C_ 
U. Q )
54 simp2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q
)  ->  x  ~<_  om )
555, 48, 49, 53, 54omssubaddOLD 29180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q
)  ->  ( M `  U_ y  e.  x  y )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
5647, 55syl5eqbr 4449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P U. Q
)  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x ( M `  y ) )
57563adant1r 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P U. Q )  -> 
( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
58573adant1r 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_ 
~P U. Q )  -> 
( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
5913ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P U. Q )  ->  Q  e.  V )
6023ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P U. Q )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
61 simp2 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P U. Q )  ->  x  C_  y )
62 elpwi 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~P U. Q  ->  y  C_  U. Q )
63623ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P U. Q )  ->  y  C_ 
U. Q )
645, 59, 60, 61, 63omsmonOLD 29178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P U. Q )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y
) )
65643adant1r 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P U. Q )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y )
)
66653adant1r 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  x  C_  y  /\  y  e.  ~P U. Q )  ->  ( M `  x )  <_  ( M `  y )
)
67 elpwi 3971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  ~P S  -> 
e  C_  S )
6867ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  e  C_  S )
6968, 14syl6sseq 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  e  C_  (toCaraSiga `
 M ) )
7043, 44, 45, 58, 66, 41, 69carsgclctun 29201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  U. e  e.  (toCaraSiga `  M ) )
7170, 14syl6eleqr 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  U. e  e.  S )
72 fvres 5901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. e  e.  S  ->  ( ( M  |`  S ) `
 U. e )  =  ( M `  U. e ) )
73 uniiun 4344 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. e  =  U_ f  e.  e  f
7473fveq2i 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M `
 U. e )  =  ( M `  U_ f  e.  e  f )
7572, 74syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. e  e.  S  ->  ( ( M  |`  S ) `
 U. e )  =  ( M `  U_ f  e.  e  f ) )
7671, 75syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  =  ( M `  U_ f  e.  e  f )
)
77 nfv 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )
7868sselda 3443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  f  e.  S )
79 fvres 5901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  S  ->  (
( M  |`  S ) `
 f )  =  ( M `  f
) )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  ( ( M  |`  S ) `  f
)  =  ( M `
 f ) )
8180ralrimiva 2813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  A. f  e.  e  ( ( M  |`  S ) `  f )  =  ( M `  f ) )
8277, 81esumeq2d 28906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
)  = Σ* f  e.  e ( M `  f
) )
8342, 76, 823brtr4d 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  <_ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
) )
84 snex 4654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  e.  _V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  { (/) }  e.  _V )
8644adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  M : ~P U. Q
--> ( 0 [,] +oo ) )
8786, 39ffvelrnd 6045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  ( M `  f
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
88 elsni 4004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  { (/) }  ->  f  =  (/) )
8988fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  { (/) }  ->  ( M `  f )  =  ( M `  (/) ) )
9089, 45sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  { (/) } )  ->  ( M `  f )  =  0 )
9135, 85, 87, 90esumpad2 28925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  ( e  \  { (/) } ) ( M `  f )  = Σ* f  e.  e ( M `  f ) )
92 neldifsnd 4112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  -.  (/)  e.  ( e  \  { (/) } ) )
93 difss 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e 
\  { (/) } ) 
C_  e
94 ssdomg 7640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  ~P S  -> 
( ( e  \  { (/) } )  C_  e  ->  ( e  \  { (/) } )  ~<_  e ) )
9535, 93, 94mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( e  \  { (/) } )  ~<_  e )
96 domtr 7647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  \  { (/)
} )  ~<_  e  /\  e  ~<_  om )  ->  (
e  \  { (/) } )  ~<_  om )
9795, 41, 96syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( e  \  { (/) } )  ~<_  om )
9869ssdifssd 3582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( e  \  { (/) } )  C_  (toCaraSiga `
 M ) )
99 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Disj  g  e.  e  g )
100 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
g
101 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ g
y
102 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  y  ->  g  =  y )
103100, 101, 102cbvdisj 4396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  g  e.  e  g  <-> Disj  y  e.  e  y )
10499, 103sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Disj  y  e.  e  y )
105 disjss1 4392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  \  { (/) } )  C_  e  ->  (Disj  y  e.  e  y  -> Disj  y  e.  ( e  \  { (/) } ) y ) )
10693, 104, 105mpsyl 65 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Disj  y  e.  ( e  \  { (/) } ) y )
10743, 44, 45, 58, 92, 97, 98, 106, 66carsggect 29198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  ( e  \  { (/) } ) ( M `  f )  <_  ( M `  U. ( e 
\  { (/) } ) ) )
10891, 107eqbrtrrd 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  e ( M `  f
)  <_  ( M `  U. ( e  \  { (/) } ) ) )
109 unidif0 4589 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
e  \  { (/) } )  =  U. e
110109fveq2i 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( M `
 U. ( e 
\  { (/) } ) )  =  ( M `
 U. e )
111108, 110syl6breq 4455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  e ( M `  f
)  <_  ( M `  U. e ) )
11271, 72syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  =  ( M `  U. e
) )
113111, 82, 1123brtr4d 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
)  <_  ( ( M  |`  S ) `  U. e ) )
11483, 113jca 539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( (
( M  |`  S ) `
 U. e )  <_ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `
 f )  /\ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
)  <_  ( ( M  |`  S ) `  U. e ) ) )
115 iccssxr 11745 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
11619ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( M  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
117116, 71ffvelrnd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
118115, 117sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  e.  RR* )
119116adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  ( M  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
120119, 78ffvelrnd 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S
)  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e 
g ) )  /\  f  e.  e )  ->  ( ( M  |`  S ) `  f
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121120ralrimiva 2813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  A. f  e.  e  ( ( M  |`  S ) `  f )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
122 nfcv 2602 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
e
123122esumcl 28899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  e.  ~P S  /\  A. f  e.  e  ( ( M  |`  S ) `  f
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `
 f )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12435, 121, 123syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
125115, 124sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  -> Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
)  e.  RR* )
126 xrletri3 11479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  |`  S ) `  U. e )  e.  RR*  /\ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f )  e.  RR* )  ->  ( ( ( M  |`  S ) `  U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f )  <->  ( (
( M  |`  S ) `
 U. e )  <_ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `
 f )  /\ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
)  <_  ( ( M  |`  S ) `  U. e ) ) ) )
127118, 125, 126syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( (
( M  |`  S ) `
 U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `
 f )  <->  ( (
( M  |`  S ) `
 U. e )  <_ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `
 f )  /\ Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
)  <_  ( ( M  |`  S ) `  U. e ) ) ) )
128114, 127mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  g  e.  e  g ) )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
) )
12932, 128sylan2b 482 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P S )  /\  ( e  ~<_  om  /\ Disj  f  e.  e  f ) )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
) )
130129ex 440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P S )  ->  (
( e  ~<_  om  /\ Disj  f  e.  e  f )  ->  ( ( M  |`  S ) `  U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
) ) )
131130ralrimiva 2813 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ~P  S ( ( e  ~<_  om  /\ Disj  f  e.  e  f )  ->  (
( M  |`  S ) `
 U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `
 f ) ) )
13219, 27, 1313jca 1194 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( M  |`  S ) `  (/) )  =  0  /\  A. e  e.  ~P  S ( ( e  ~<_  om  /\ Disj  f  e.  e  f )  -> 
( ( M  |`  S ) `  U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
) ) ) )
13316, 13, 22, 56, 64carsgsiga 29202 . . . 4  |-  ( ph  ->  (toCaraSiga `  M )  e.  (sigAlgebra `  U. Q ) )
13414, 133syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. Q ) )
135 elrnsiga 28996 . . 3  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. Q )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
136 ismeas 29069 . . 3  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( M  |`  S )  e.  (measures `  S
)  <->  ( ( M  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( M  |`  S ) `  (/) )  =  0  /\  A. e  e.  ~P  S ( ( e  ~<_  om  /\ Disj  f  e.  e  f )  -> 
( ( M  |`  S ) `  U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
) ) ) ) )
137134, 135, 1363syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  |`  S )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( M  |`  S ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( M  |`  S ) `
 (/) )  =  0  /\  A. e  e. 
~P  S ( ( e  ~<_  om  /\ Disj  f  e.  e  f )  -> 
( ( M  |`  S ) `  U. e )  = Σ* f  e.  e ( ( M  |`  S ) `  f
) ) ) ) )
138132, 137mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( M  |`  S )  e.  (measures `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    C_ wss 3415   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   {csn 3979   U.cuni 4211   U_ciun 4291  Disj wdisj 4386   class class class wbr 4415   dom cdm 4852   ran crn 4853    |` cres 4854   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   omcom 6718    ~<_ cdom 7592   0cc0 9564   +oocpnf 9697   RR*cxr 9699    <_ cle 9701   [,]cicc 11666  Σ*cesum 28896  sigAlgebracsiga 28977  measurescmeas 29065  toOMeascomsold 29162  toCaraSigaccarsg 29181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-reg 8132  ax-inf2 8171  ax-cc 8890  ax-ac2 8918  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-disj 4387  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-r1 8260  df-rank 8261  df-card 8398  df-acn 8401  df-ac 8572  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-ordt 15447  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-ps 16494  df-tsr 16495  df-plusf 16535  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-subrg 18054  df-abv 18093  df-lmod 18141  df-scaf 18142  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-tmd 21135  df-tgp 21136  df-tsms 21189  df-trg 21222  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-nm 21645  df-ngp 21646  df-nrg 21648  df-nlm 21649  df-ii 21957  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870  df-log 23554  df-esum 28897  df-siga 28978  df-meas 29066  df-omsOLD 29164  df-carsg 29182
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