Theorem omslim2 14421

Description: Assuming the axiom of infinity, the class of natural numbers is the intersection of all the limit ordinals. Since om is a limit ordinal it is then the smallest limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
omslim2	|- om = |^|{x | Lim x}

Proof of Theorem omslim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abid 1873	. . 3 |- (y e. {y | A.x(Lim x -> y e. x)} <-> A.x(Lim x -> y e. x))
2		dfom4 5739	. . . 4 |- om = {y | A.x(Lim x -> y e. x)}
3	2	eleq2i 1961	. . 3 |- (y e. om <-> y e. {y | A.x(Lim x -> y e. x)})
4		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
5	4	elintab 3227	. . 3 |- (y e. |^|{x | Lim x} <-> A.x(Lim x -> y e. x))
6	1, 3, 5	3bitr4i 200	. 2 |- (y e. om <-> y e. |^|{x | Lim x})
7	6	eqriv 1881	1 |- om = |^|{x | Lim x}

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  |^|cint 3214  Lim wlim 3658  omcom 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain