Theorem omsdomnn 4594

Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. Here we use A ~<_ om /\ -. om ~~ A instead of A ~< om because, due to a peculiarity ultimately caused our ordered pair definition, we would need the Axiom of infinity (which we have avoided up to now) in order to prove the latter.

Assertion

Ref	Expression
omsdomnn	|- (A e. om -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))

Proof of Theorem omsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 3198	. . . 4 |- Ord om
2		ordelss 3021	. . . 4 |- ((Ord om /\ A e. om) -> A (_ om)
3	1, 2	mpan 707	. . 3 |- (A e. om -> A (_ om)
4		ssdomg 4469	. . 3 |- (A e. om -> (A (_ om -> A ~<_ om))
5	3, 4	mpd 26	. 2 |- (A e. om -> A ~<_ om)
6		breq2 2678	. . . 4 |- (x = A -> (om ~~ x <-> om ~~ A))
7	6	notbid 622	. . 3 |- (x = A -> (-. om ~~ x <-> -. om ~~ A))
8		ominf 4593	. . . . 5 |- -. om e. Fin
9		isfi 4443	. . . . 5 |- (om e. Fin <-> E.x e. om om ~~ x)
10	8, 9	mtbi 198	. . . 4 |- -. E.x e. om om ~~ x
11		ralnex 1700	. . . 4 |- (A.x e. om -. om ~~ x <-> -. E.x e. om om ~~ x)
12	10, 11	mpbir 197	. . 3 |- A.x e. om -. om ~~ x
13	7, 12	vtoclri 1906	. 2 |- (A e. om -> -. om ~~ A)
14	5, 13	jca 295	1 |- (A e. om -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692  E.wrex 1693   (_ wss 2098   class class class wbr 2674  Ord word 3004  omcom 3188   ~~ cen 4425   ~<_ cdom 4426  Fincfn 4428

This theorem is referenced by:  isfinite1 4595  infsdomnn 4596  nnsdom 4697  infunabs 7657  infcdaabs 7658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-fin 4432

Copyright terms: Public domain