Theorem oms0OLD 29202

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) Obsolete version of oms0 29198 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsOLD.m	|- M = (toOMeas ` R )
omsOLD.o	|- ( ph -> Q e. V )
omsOLD.r	|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsOLD.d	|- ( ph -> (/) e. dom R )
omsOLD.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0OLD	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0OLD

Dummy variables x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsOLD.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 5880	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		omsOLD.o	. . . 4 |- ( ph -> Q e. V )
4		omsOLD.r	. . . 4 |- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5		0ss 3766	. . . . 5 |- (/) C_ U. dom R
6		fdm 5745	. . . . . . 7 |- ( R : Q --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = Q )
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom R = Q )
8	7	unieqd 4200	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom R = U. Q )
9	5, 8	syl5sseq 3466	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ U. Q )
10		omsfvalOLD 29195	. . . 4 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ U. Q ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
11	3, 4, 9, 10	syl3anc 1292	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
12		iccssxr 11742	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
13		xrltso 11463	. . . . . . 7 |- < Or RR*
14		cnvso 5382	. . . . . . 7 |- ( < Or RR* <-> `' < Or RR* )
15	13, 14	mpbi 213	. . . . . 6 |- `' < Or RR*
16		soss 4778	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( `' < Or RR* -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
17	12, 15, 16	mp2 9	. . . . 5 |- `' < Or ( 0 [,] +oo )
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) )
19		0xr 9705	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
20		pnfxr 11435	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
21		pnfge 11455	. . . . . . 7 |- ( 0 e. RR* -> 0 <_ +oo )
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 <_ +oo
23		lbicc2 11774	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
24	19, 20, 22, 23	mp3an 1390	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
26		omsOLD.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. dom R )
27		0ex 4528	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
28	27	snss 4087	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. dom R <-> { (/) } C_ dom R )
29	26, 28	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { (/) } C_ dom R )
30		p0ex 4588	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
31	30	elpw 3948	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. ~P dom R <-> { (/) } C_ dom R )
32	29, 31	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { (/) } e. ~P dom R )
33		0ss 3766	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. { (/) }
34		snct 28370	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
35	27, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~<_ om
36	33, 35	pm3.2i 462	. . . . . . . 8 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
37	32, 36	jctir 547	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
38		unieq 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
39	38	sseq2d 3446	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
40		breq1 4398	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
41	39, 40	anbi12d 725	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
42	41	elrab 3184	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
43	37, 42	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
44		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
45	44	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
46		omsOLD.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
47	46	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
48	45, 47	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
49	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. _V )
50	48, 49, 25	esumsn 28960	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
51	50	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
52		esumeq1 28929	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
53	52	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
54	53	rspcev 3136	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
55	43, 51, 54	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
56		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
57	56	elrnmpt 5087	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
58	19, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
59	55, 58	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
60		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
61		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ x a
62		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
63	62	nfrn 5083	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
64	61, 63	nfel 2624	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
65	60, 64	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
66		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
67		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> x e. _V )
69		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
70		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y a
71		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
72		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
73	72	nfesum1 28935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
74	71, 73	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
75	74	nfrn 5083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
76	70, 75	nfel 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
77	69, 76	nfan 2031	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
78		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
79	77, 78	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
80	70, 73	nfeq 2623	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
81	79, 80	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
82	4	ad4antr 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
83		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P dom R
84		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
85	83, 84	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P dom R )
86	7	pweqd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P dom R = ~P Q )
87	86	ad4antr 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P dom R = ~P Q )
88	85, 87	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P Q )
89		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P Q -> x C_ Q )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ Q )
91		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
92	90, 91	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. Q )
93	82, 92	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94	93	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
95	81, 94	ralrimi 2800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	72	esumcl 28925	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	68, 95, 96	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98	66, 97	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
99		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
100	56	elrnmpt 5087	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
102	101	biimpi 199	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
103	102	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
104	65, 98, 103	r19.29af 2916	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
105		iccgelb 11716	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
106	19, 20, 105	mp3an12 1380	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
107	104, 106	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
108	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 e. RR* )
109	12, 104	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
110		brcnvg 5020	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 `' < a <-> a < 0 ) )
111	110	notbid 301	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> -. a < 0 ) )
112		xrlenlt 9717	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
113	111, 112	bitr4d 264	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
114	108, 109, 113	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
115	107, 114	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. 0 `' < a )
116	18, 25, 59, 115	supmax 7999	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) = 0 )
117	11, 116	eqtrd 2505	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
118	2, 117	syl5eq 2517	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   Or wor 4759   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711   ~<_ cdom 7585   supcsup 7972   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   [,]cicc 11663  Σ^*cesum 28922  toOMeascomsold 29187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-esum 28923  df-omsOLD 29189

This theorem is referenced by:  omsmeasOLD  29229