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Theorem oms0OLD 29202
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) Obsolete version of oms0 29198 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omsOLD.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
omsOLD.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
omsOLD.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsOLD.d  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
omsOLD.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
oms0OLD  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )

Proof of Theorem oms0OLD
Dummy variables  x  y  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsOLD.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
21fveq1i 5880 . 2  |-  ( M `
 (/) )  =  ( (toOMeas `  R ) `  (/) )
3 omsOLD.o . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
4 omsOLD.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5 0ss 3766 . . . . 5  |-  (/)  C_  U. dom  R
6 fdm 5745 . . . . . . 7  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
74, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
87unieqd 4200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. Q )
95, 8syl5sseq 3466 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  U. Q )
10 omsfvalOLD 29195 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  (/)  C_  U. Q )  -> 
( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
113, 4, 9, 10syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
12 iccssxr 11742 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
13 xrltso 11463 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR*
14 cnvso 5382 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
1513, 14mpbi 213 . . . . . 6  |-  `'  <  Or 
RR*
16 soss 4778 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( `'  <  Or 
RR*  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) ) )
1712, 15, 16mp2 9 . . . . 5  |-  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) )
19 0xr 9705 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
20 pnfxr 11435 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
21 pnfge 11455 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
2219, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_ +oo
23 lbicc2 11774 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2419, 20, 22, 23mp3an 1390 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
26 omsOLD.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
27 0ex 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
2827snss 4087 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  dom  R  <->  { (/) }  C_  dom  R )
2926, 28sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { (/) }  C_  dom  R )
30 p0ex 4588 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
3130elpw 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  ~P dom  R  <->  { (/) }  C_  dom  R )
3229, 31sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  ~P dom  R )
33 0ss 3766 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. { (/)
}
34 snct 28370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  ~<_  om )
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  ~<_  om
3633, 35pm3.2i 462 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  C_ 
U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
3732, 36jctir 547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
38 unieq 4198 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  U. z  =  U. { (/)
} )
3938sseq2d 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
(/)  C_  U. z  <->  (/)  C_  U. { (/)
} ) )
40 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  ~<_  om  <->  { (/) }  ~<_  om )
)
4139, 40anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  <->  (
(/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
) )
4241elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 
<->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
4337, 42sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
44 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  (/) )
4544fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  (/) ) )
46 omsOLD.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4746adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4845, 47eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  0 )
4927a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
5048, 49, 25esumsn 28960 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )  =  0 )
5150eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  = Σ* y  e.  { (/)
}  ( R `  y ) )
52 esumeq1 28929 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )
5352eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( 0  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)  <->  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) ) )
5453rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  /\  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5543, 51, 54syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
56 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5756elrnmpt 5087 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
5819, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5955, 58sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
60 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
61 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
a
62 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6362nfrn 5083 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6461, 63nfel 2624 . . . . . . . 8  |-  F/ x  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6560, 64nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
66 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)
67 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  x  e.  _V )
69 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
70 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
a
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }
72 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
7372nfesum1 28935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ yΣ* y  e.  x ( R `  y )
7471, 73nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7574nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7670, 75nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7769, 76nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
78 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
7977, 78nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8070, 73nfeq 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)
8179, 80nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
824ad4antr 746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
83 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P dom  R
84 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8583, 84sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P dom  R )
867pweqd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P dom  R  =  ~P Q )
8786ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ~P dom  R  =  ~P Q
)
8885, 87eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P Q )
89 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P Q  ->  x  C_  Q )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  Q )
91 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
9290, 91sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Q )
9382, 92ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9493ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  (
y  e.  x  -> 
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
9581, 94ralrimi 2800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9672esumcl 28925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9768, 95, 96syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9866, 97eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
99 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
10056elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
102101biimpi 199 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
103102adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
10465, 98, 103r19.29af 2916 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
105 iccgelb 11716 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  a )
10619, 20, 105mp3an12 1380 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
107104, 106syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  0  <_  a )
10819a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
10912, 104sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  RR* )
110 brcnvg 5020 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0 `'  <  a  <->  a  <  0 ) )
111110notbid 301 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  -.  a  <  0 ) )
112 xrlenlt 9717 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0  <_  a  <->  -.  a  <  0 ) )
113111, 112bitr4d 264 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
114108, 109, 113syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
115107, 114mpbird 240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  -.  0 `'  <  a )
11618, 25, 59, 115supmax 7999 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  0 )
11711, 116eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  0 )
1182, 117syl5eq 2517 1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   supcsup 7972   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663  Σ*cesum 28922  toOMeascomsold 29187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-esum 28923  df-omsOLD 29189
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