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Theorem oms0OLD 29129
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) Obsolete version of oms0 29125 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omsOLD.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
omsOLD.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
omsOLD.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsOLD.d  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
omsOLD.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
oms0OLD  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )

Proof of Theorem oms0OLD
Dummy variables  x  y  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsOLD.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
21fveq1i 5866 . 2  |-  ( M `
 (/) )  =  ( (toOMeas `  R ) `  (/) )
3 omsOLD.o . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
4 omsOLD.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5 0ss 3763 . . . . 5  |-  (/)  C_  U. dom  R
6 fdm 5733 . . . . . . 7  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
74, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
87unieqd 4208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. Q )
95, 8syl5sseq 3480 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  U. Q )
10 omsfvalOLD 29122 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  (/)  C_  U. Q )  -> 
( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
113, 4, 9, 10syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
12 iccssxr 11717 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
13 xrltso 11440 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR*
14 cnvso 5375 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
1513, 14mpbi 212 . . . . . 6  |-  `'  <  Or 
RR*
16 soss 4773 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( `'  <  Or 
RR*  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) ) )
1712, 15, 16mp2 9 . . . . 5  |-  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) )
19 0xr 9687 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
20 pnfxr 11412 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
21 pnfge 11432 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
2219, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_ +oo
23 lbicc2 11748 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2419, 20, 22, 23mp3an 1364 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
26 omsOLD.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
27 0ex 4535 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
2827snss 4096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  dom  R  <->  { (/) }  C_  dom  R )
2926, 28sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { (/) }  C_  dom  R )
30 p0ex 4590 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
3130elpw 3957 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  ~P dom  R  <->  { (/) }  C_  dom  R )
3229, 31sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  ~P dom  R )
33 0ss 3763 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. { (/)
}
34 snct 28295 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  ~<_  om )
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  ~<_  om
3633, 35pm3.2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  C_ 
U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
3732, 36jctir 541 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
38 unieq 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  U. z  =  U. { (/)
} )
3938sseq2d 3460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
(/)  C_  U. z  <->  (/)  C_  U. { (/)
} ) )
40 breq1 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  ~<_  om  <->  { (/) }  ~<_  om )
)
4139, 40anbi12d 717 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  <->  (
(/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
) )
4241elrab 3196 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 
<->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
4337, 42sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
44 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  (/) )
4544fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  (/) ) )
46 omsOLD.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4746adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4845, 47eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  0 )
4927a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
5048, 49, 25esumsn 28886 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )  =  0 )
5150eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  = Σ* y  e.  { (/)
}  ( R `  y ) )
52 esumeq1 28855 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )
5352eqeq2d 2461 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( 0  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)  <->  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) ) )
5453rspcev 3150 . . . . . 6  |-  ( ( { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  /\  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5543, 51, 54syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
56 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5756elrnmpt 5081 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
5819, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5955, 58sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
60 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
61 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
a
62 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6362nfrn 5077 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6461, 63nfel 2604 . . . . . . . 8  |-  F/ x  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6560, 64nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
66 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)
67 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  x  e.  _V )
69 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
70 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
a
71 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }
72 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
7372nfesum1 28861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ yΣ* y  e.  x ( R `  y )
7471, 73nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7574nfrn 5077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7670, 75nfel 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7769, 76nfan 2011 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
78 nfv 1761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
7977, 78nfan 2011 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8070, 73nfeq 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)
8179, 80nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
824ad4antr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
83 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P dom  R
84 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8583, 84sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P dom  R )
867pweqd 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P dom  R  =  ~P Q )
8786ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ~P dom  R  =  ~P Q
)
8885, 87eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P Q )
89 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P Q  ->  x  C_  Q )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  Q )
91 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
9290, 91sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Q )
9382, 92ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9493ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  (
y  e.  x  -> 
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
9581, 94ralrimi 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9672esumcl 28851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9768, 95, 96syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9866, 97eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
99 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
10056elrnmpt 5081 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
102101biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
103102adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
10465, 98, 103r19.29af 2930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
105 iccgelb 11691 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  a )
10619, 20, 105mp3an12 1354 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
107104, 106syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  0  <_  a )
10819a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
10912, 104sseldi 3430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  RR* )
110 brcnvg 5015 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0 `'  <  a  <->  a  <  0 ) )
111110notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  -.  a  <  0 ) )
112 xrlenlt 9699 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0  <_  a  <->  -.  a  <  0 ) )
113111, 112bitr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
114108, 109, 113syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
115107, 114mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  -.  0 `'  <  a )
11618, 25, 59, 115supmax 7981 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  0 )
11711, 116eqtrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  0 )
1182, 117syl5eq 2497 1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    Or wor 4754   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   omcom 6692    ~<_ cdom 7567   supcsup 7954   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   [,]cicc 11638  Σ*cesum 28848  toOMeascomsold 29114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-cn 20243  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tsms 21141  df-esum 28849  df-omsOLD 29116
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