Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oms0OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oms0OLD 29202
 Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) Obsolete version of oms0 29198 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omsOLD.m toOMeas
omsOLD.o
omsOLD.r
omsOLD.d
omsOLD.0
Assertion
Ref Expression
oms0OLD

Proof of Theorem oms0OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsOLD.m . . 3 toOMeas
21fveq1i 5880 . 2 toOMeas
3 omsOLD.o . . . 4
4 omsOLD.r . . . 4
5 0ss 3766 . . . . 5
6 fdm 5745 . . . . . . 7
74, 6syl 17 . . . . . 6
87unieqd 4200 . . . . 5
95, 8syl5sseq 3466 . . . 4
10 omsfvalOLD 29195 . . . 4 toOMeas Σ*
113, 4, 9, 10syl3anc 1292 . . 3 toOMeas Σ*
12 iccssxr 11742 . . . . . 6
13 xrltso 11463 . . . . . . 7
14 cnvso 5382 . . . . . . 7
1513, 14mpbi 213 . . . . . 6
16 soss 4778 . . . . . 6
1712, 15, 16mp2 9 . . . . 5
1817a1i 11 . . . 4
19 0xr 9705 . . . . . 6
20 pnfxr 11435 . . . . . 6
21 pnfge 11455 . . . . . . 7
2219, 21ax-mp 5 . . . . . 6
23 lbicc2 11774 . . . . . 6
2419, 20, 22, 23mp3an 1390 . . . . 5
2524a1i 11 . . . 4
26 omsOLD.d . . . . . . . . . 10
27 0ex 4528 . . . . . . . . . . 11
2827snss 4087 . . . . . . . . . 10
2926, 28sylib 201 . . . . . . . . 9
30 p0ex 4588 . . . . . . . . . 10
3130elpw 3948 . . . . . . . . 9
3229, 31sylibr 217 . . . . . . . 8
33 0ss 3766 . . . . . . . . 9
34 snct 28370 . . . . . . . . . 10
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3633, 35pm3.2i 462 . . . . . . . 8
3732, 36jctir 547 . . . . . . 7
38 unieq 4198 . . . . . . . . . 10
3938sseq2d 3446 . . . . . . . . 9
40 breq1 4398 . . . . . . . . 9
4139, 40anbi12d 725 . . . . . . . 8
4241elrab 3184 . . . . . . 7
4337, 42sylibr 217 . . . . . 6
44 simpr 468 . . . . . . . . . 10
4544fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
46 omsOLD.0 . . . . . . . . . 10
4746adantr 472 . . . . . . . . 9
4845, 47eqtrd 2505 . . . . . . . 8
4927a1i 11 . . . . . . . 8
5048, 49, 25esumsn 28960 . . . . . . 7 Σ*
5150eqcomd 2477 . . . . . 6 Σ*
52 esumeq1 28929 . . . . . . . 8 Σ* Σ*
5352eqeq2d 2481 . . . . . . 7 Σ* Σ*
5453rspcev 3136 . . . . . 6 Σ* Σ*
5543, 51, 54syl2anc 673 . . . . 5 Σ*
56 eqid 2471 . . . . . . 7 Σ* Σ*
5756elrnmpt 5087 . . . . . 6 Σ* Σ*
5819, 57ax-mp 5 . . . . 5 Σ* Σ*
5955, 58sylibr 217 . . . 4 Σ*
60 nfv 1769 . . . . . . . 8
61 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
62 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10 Σ*
6362nfrn 5083 . . . . . . . . 9 Σ*
6461, 63nfel 2624 . . . . . . . 8 Σ*
6560, 64nfan 2031 . . . . . . 7 Σ*
66 simpr 468 . . . . . . . 8 Σ* Σ* Σ*
67 vex 3034 . . . . . . . . . 10
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 Σ* Σ*
69 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13
70 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372nfesum1 28935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ*
7471, 73nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ*
7574nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ*
7670, 75nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13 Σ*
7769, 76nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12 Σ*
78 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78nfan 2031 . . . . . . . . . . 11 Σ*
8070, 73nfeq 2623 . . . . . . . . . . 11 Σ*
8179, 80nfan 2031 . . . . . . . . . 10 Σ* Σ*
824ad4antr 746 . . . . . . . . . . . 12 Σ* Σ*
83 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16
84 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ* Σ*
8583, 84sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ* Σ*
867pweqd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ* Σ*
8885, 87eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ* Σ*
89 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 Σ* Σ*
91 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 Σ* Σ*
9290, 91sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12 Σ* Σ*
9382, 92ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11 Σ* Σ*
9493ex 441 . . . . . . . . . 10 Σ* Σ*
9581, 94ralrimi 2800 . . . . . . . . 9 Σ* Σ*
9672esumcl 28925 . . . . . . . . 9 Σ*
9768, 95, 96syl2anc 673 . . . . . . . 8 Σ* Σ* Σ*
9866, 97eqeltrd 2549 . . . . . . 7 Σ* Σ*
99 vex 3034 . . . . . . . . . 10
10056elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10 Σ* Σ*
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Σ* Σ*
102101biimpi 199 . . . . . . . 8 Σ* Σ*
103102adantl 473 . . . . . . 7 Σ* Σ*
10465, 98, 103r19.29af 2916 . . . . . 6 Σ*
105 iccgelb 11716 . . . . . . 7
10619, 20, 105mp3an12 1380 . . . . . 6
107104, 106syl 17 . . . . 5 Σ*
10819a1i 11 . . . . . 6 Σ*
10912, 104sseldi 3416 . . . . . 6 Σ*
110 brcnvg 5020 . . . . . . . 8
111110notbid 301 . . . . . . 7
112 xrlenlt 9717 . . . . . . 7
113111, 112bitr4d 264 . . . . . 6
114108, 109, 113syl2anc 673 . . . . 5 Σ*
115107, 114mpbird 240 . . . 4 Σ*
11618, 25, 59, 115supmax 7999 . . 3 Σ*
11711, 116eqtrd 2505 . 2 toOMeas
1182, 117syl5eq 2517 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wor 4759  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711   cdom 7585  csup 7972  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cicc 11663  Σ*cesum 28922  toOMeascomsold 29187 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-esum 28923  df-omsOLD 29189 This theorem is referenced by:  omsmeasOLD  29229
 Copyright terms: Public domain W3C validator