Theorem oms0OLD 29129

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) Obsolete version of oms0 29125 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsOLD.m	|- M = (toOMeas ` R )
omsOLD.o	|- ( ph -> Q e. V )
omsOLD.r	|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsOLD.d	|- ( ph -> (/) e. dom R )
omsOLD.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0OLD	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0OLD

Dummy variables x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsOLD.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 5866	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		omsOLD.o	. . . 4 |- ( ph -> Q e. V )
4		omsOLD.r	. . . 4 |- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5		0ss 3763	. . . . 5 |- (/) C_ U. dom R
6		fdm 5733	. . . . . . 7 |- ( R : Q --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = Q )
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom R = Q )
8	7	unieqd 4208	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom R = U. Q )
9	5, 8	syl5sseq 3480	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ U. Q )
10		omsfvalOLD 29122	. . . 4 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ U. Q ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
11	3, 4, 9, 10	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
12		iccssxr 11717	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
13		xrltso 11440	. . . . . . 7 |- < Or RR*
14		cnvso 5375	. . . . . . 7 |- ( < Or RR* <-> `' < Or RR* )
15	13, 14	mpbi 212	. . . . . 6 |- `' < Or RR*
16		soss 4773	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( `' < Or RR* -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
17	12, 15, 16	mp2 9	. . . . 5 |- `' < Or ( 0 [,] +oo )
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) )
19		0xr 9687	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
20		pnfxr 11412	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
21		pnfge 11432	. . . . . . 7 |- ( 0 e. RR* -> 0 <_ +oo )
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 <_ +oo
23		lbicc2 11748	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
24	19, 20, 22, 23	mp3an 1364	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
26		omsOLD.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. dom R )
27		0ex 4535	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
28	27	snss 4096	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. dom R <-> { (/) } C_ dom R )
29	26, 28	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { (/) } C_ dom R )
30		p0ex 4590	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
31	30	elpw 3957	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. ~P dom R <-> { (/) } C_ dom R )
32	29, 31	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { (/) } e. ~P dom R )
33		0ss 3763	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. { (/) }
34		snct 28295	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
35	27, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~<_ om
36	33, 35	pm3.2i 457	. . . . . . . 8 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
37	32, 36	jctir 541	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
38		unieq 4206	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
39	38	sseq2d 3460	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
40		breq1 4405	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
41	39, 40	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
42	41	elrab 3196	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
43	37, 42	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
44		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
45	44	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
46		omsOLD.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
47	46	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
48	45, 47	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
49	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. _V )
50	48, 49, 25	esumsn 28886	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
51	50	eqcomd 2457	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
52		esumeq1 28855	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
53	52	eqeq2d 2461	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
54	53	rspcev 3150	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
55	43, 51, 54	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
56		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
57	56	elrnmpt 5081	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
58	19, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
59	55, 58	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
60		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
61		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ x a
62		nfmpt1 4492	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
63	62	nfrn 5077	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
64	61, 63	nfel 2604	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
65	60, 64	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
66		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
67		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> x e. _V )
69		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
70		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y a
71		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
72		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
73	72	nfesum1 28861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
74	71, 73	nfmpt 4491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
75	74	nfrn 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
76	70, 75	nfel 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
77	69, 76	nfan 2011	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
78		nfv 1761	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
79	77, 78	nfan 2011	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
80	70, 73	nfeq 2603	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
81	79, 80	nfan 2011	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
82	4	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
83		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P dom R
84		simpllr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
85	83, 84	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P dom R )
86	7	pweqd 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P dom R = ~P Q )
87	86	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P dom R = ~P Q )
88	85, 87	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P Q )
89		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P Q -> x C_ Q )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ Q )
91		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
92	90, 91	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. Q )
93	82, 92	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94	93	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
95	81, 94	ralrimi 2788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	72	esumcl 28851	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	68, 95, 96	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98	66, 97	eqeltrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
99		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
100	56	elrnmpt 5081	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
102	101	biimpi 198	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
103	102	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
104	65, 98, 103	r19.29af 2930	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
105		iccgelb 11691	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
106	19, 20, 105	mp3an12 1354	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
107	104, 106	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
108	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 e. RR* )
109	12, 104	sseldi 3430	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
110		brcnvg 5015	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 `' < a <-> a < 0 ) )
111	110	notbid 296	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> -. a < 0 ) )
112		xrlenlt 9699	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
113	111, 112	bitr4d 260	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
114	108, 109, 113	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
115	107, 114	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. 0 `' < a )
116	18, 25, 59, 115	supmax 7981	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) = 0 )
117	11, 116	eqtrd 2485	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
118	2, 117	syl5eq 2497	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   Or wor 4754   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   omcom 6692   ~<_ cdom 7567   supcsup 7954   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   [,]cicc 11638  Σ^*cesum 28848  toOMeascomsold 29114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-cn 20243  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tsms 21141  df-esum 28849  df-omsOLD 29116

This theorem is referenced by:  omsmeasOLD  29156