Theorem oms0 27934

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	|- M = (toOMeas ` R )
oms.o	|- ( ph -> O e. V )
oms.r	|- ( ph -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0

Dummy variables a x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 5867	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		oms.o	. . . . 5 |- ( ph -> O e. V )
4		elex 3122	. . . . 5 |- ( O e. V -> O e. _V )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> O e. _V )
6		oms.r	. . . 4 |- ( ph -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7		0ss 3814	. . . . 5 |- (/) C_ O
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ O )
9		omsfval 27933	. . . 4 |- ( ( O e. _V /\ R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ O ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
11		iccssxr 11607	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
12		xrltso 11347	. . . . . . 7 |- < Or RR*
13		cnvso 5546	. . . . . . 7 |- ( < Or RR* <-> `' < Or RR* )
14	12, 13	mpbi 208	. . . . . 6 |- `' < Or RR*
15		soss 4818	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( `' < Or RR* -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
16	11, 14, 15	mp2 9	. . . . 5 |- `' < Or ( 0 [,] +oo )
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) )
18		0xr 9640	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
19		pnfxr 11321	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
20		pnfge 11339	. . . . . . 7 |- ( 0 e. RR* -> 0 <_ +oo )
21	18, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 <_ +oo
22		lbicc2 11636	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
23	18, 19, 21, 22	mp3an 1324	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
24	23	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
25		0ss 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) C_ U. dom R
26		0ex 4577	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
27	26	elpw 4016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ~P U. dom R <-> (/) C_ U. dom R )
28	25, 27	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ~P U. dom R
29	26	snss 4151	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ~P U. dom R <-> { (/) } C_ ~P U. dom R )
30	28, 29	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } C_ ~P U. dom R
31		p0ex 4634	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
32	31	elpw 4016	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R <-> { (/) } C_ ~P U. dom R )
33	30, 32	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. ~P ~P U. dom R
34		0ss 3814	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ U. { (/) }
35		snct 27234	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
36	26, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } ~<_ om
37	34, 36	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
38	33, 37	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) )
39		unieq 4253	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
40	39	sseq2d 3532	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
41		breq1 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
42	40, 41	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
43	42	elrab 3261	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
44	38, 43	mpbir 209	. . . . . . 7 |- { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
45	44	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
46		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
47	46	fveq2d 5870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
48		oms.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
50	47, 49	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
51	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. _V )
52	50, 51, 24	esumsn 27740	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
53	52	eqcomd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
54		esumeq1 27715	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
55	54	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
56	55	rspcev 3214	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
57	45, 53, 56	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
58		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
59	58	elrnmpt 5249	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
60	18, 59	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
61	57, 60	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
62		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
63		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ x a
64		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
65	64	nfrn 5245	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
66	63, 65	nfel 2642	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
67	62, 66	nfan 1875	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
68		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
69		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
70	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> x e. _V )
71		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
72		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y a
73		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
74		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
75	74	nfesum1 27721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
76	73, 75	nfmpt 4535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
77	76	nfrn 5245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
78	72, 77	nfel 2642	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
79	71, 78	nfan 1875	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
80		nfv 1683	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
81	79, 80	nfan 1875	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
82	72, 75	nfeq 2640	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
83	81, 82	nfan 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
84	6	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
85		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P ~P U. dom R
86		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
87	85, 86	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P ~P U. dom R )
88		fdm 5735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = ~P O )
89	6, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom R = ~P O )
90	89	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> U. dom R = U. ~P O )
91		unipw 4697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. ~P O = O
92	90, 91	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U. dom R = O )
93	92	pweqd 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ~P U. dom R = ~P O )
94	93	pweqd 4015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P ~P U. dom R = ~P ~P O )
95	94	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P ~P U. dom R = ~P ~P O )
96	87, 95	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P ~P O )
97		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ~P O -> x C_ ~P O )
98	96, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ ~P O )
99		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
100	98, 99	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. ~P O )
101	84, 100	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102	101	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
103	83, 102	ralrimi 2864	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
104	74	esumcl 27711	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105	70, 103, 104	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
106	68, 105	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
107		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
108	58	elrnmpt 5249	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
110	109	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
111	110	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
112	67, 106, 111	r19.29af 3001	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
113		iccgelb 11581	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
114	18, 19, 113	mp3an12 1314	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
115	112, 114	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
116	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 e. RR* )
117	11, 112	sseldi 3502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
118		brcnvg 5183	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 `' < a <-> a < 0 ) )
119	118	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> -. a < 0 ) )
120		xrlenlt 9652	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
121	119, 120	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
122	116, 117, 121	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
123	115, 122	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. 0 `' < a )
124	17, 24, 61, 123	supmax 7925	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) = 0 )
125	10, 124	eqtrd 2508	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
126	2, 125	syl5eq 2520	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   Or wor 4799   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   omcom 6684   ~<_ cdom 7514   supcsup 7900   0cc0 9492   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627   < clt 9628   <_ cle 9629   [,]cicc 11532  Σ^*cesum 27708  toOMeascoms 27930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-cn 19522  df-haus 19610  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tsms 20388  df-esum 27709  df-oms 27931

This theorem is referenced by: (None)