Theorem oms0 28508

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	|- M = (toOMeas ` R )
oms.o	|- ( ph -> Q e. V )
oms.r	|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.d	|- ( ph -> (/) e. dom R )
oms.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0

Dummy variables x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 5849	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		oms.o	. . . 4 |- ( ph -> Q e. V )
4		oms.r	. . . 4 |- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5		0ss 3813	. . . . 5 |- (/) C_ U. dom R
6		fdm 5717	. . . . . . 7 |- ( R : Q --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = Q )
7	4, 6	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> dom R = Q )
8	7	unieqd 4245	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom R = U. Q )
9	5, 8	syl5sseq 3537	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ U. Q )
10		omsfval 28505	. . . 4 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ U. Q ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
11	3, 4, 9, 10	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
12		iccssxr 11610	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
13		xrltso 11350	. . . . . . 7 |- < Or RR*
14		cnvso 5529	. . . . . . 7 |- ( < Or RR* <-> `' < Or RR* )
15	13, 14	mpbi 208	. . . . . 6 |- `' < Or RR*
16		soss 4807	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( `' < Or RR* -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
17	12, 15, 16	mp2 9	. . . . 5 |- `' < Or ( 0 [,] +oo )
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) )
19		0xr 9629	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
20		pnfxr 11324	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
21		pnfge 11342	. . . . . . 7 |- ( 0 e. RR* -> 0 <_ +oo )
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 <_ +oo
23		lbicc2 11639	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
24	19, 20, 22, 23	mp3an 1322	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
26		oms.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. dom R )
27		0ex 4569	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
28	27	snss 4140	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. dom R <-> { (/) } C_ dom R )
29	26, 28	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { (/) } C_ dom R )
30		p0ex 4624	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
31	30	elpw 4005	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. ~P dom R <-> { (/) } C_ dom R )
32	29, 31	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { (/) } e. ~P dom R )
33		0ss 3813	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. { (/) }
34		snct 27767	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
35	27, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~<_ om
36	33, 35	pm3.2i 453	. . . . . . . 8 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
37	32, 36	jctir 536	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
38		unieq 4243	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
39	38	sseq2d 3517	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
40		breq1 4442	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
41	39, 40	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
42	41	elrab 3254	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
43	37, 42	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
44		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
45	44	fveq2d 5852	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
46		oms.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
47	46	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
48	45, 47	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
49	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. _V )
50	48, 49, 25	esumsn 28297	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
51	50	eqcomd 2462	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
52		esumeq1 28266	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
53	52	eqeq2d 2468	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
54	53	rspcev 3207	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
55	43, 51, 54	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
56		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
57	56	elrnmpt 5238	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
58	19, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
59	55, 58	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
60		nfv 1712	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
61		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ x a
62		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
63	62	nfrn 5234	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
64	61, 63	nfel 2629	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
65	60, 64	nfan 1933	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
66		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
67		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> x e. _V )
69		nfv 1712	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
70		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y a
71		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
72		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
73	72	nfesum1 28272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
74	71, 73	nfmpt 4527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
75	74	nfrn 5234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
76	70, 75	nfel 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
77	69, 76	nfan 1933	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
78		nfv 1712	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
79	77, 78	nfan 1933	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
80	70, 73	nfeq 2627	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
81	79, 80	nfan 1933	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
82	4	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
83		ssrab2 3571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P dom R
84		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
85	83, 84	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P dom R )
86	7	pweqd 4004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P dom R = ~P Q )
87	86	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P dom R = ~P Q )
88	85, 87	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P Q )
89		elpwi 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P Q -> x C_ Q )
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ Q )
91		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
92	90, 91	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. Q )
93	82, 92	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94	93	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
95	81, 94	ralrimi 2854	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	72	esumcl 28262	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	68, 95, 96	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98	66, 97	eqeltrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
99		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
100	56	elrnmpt 5238	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
102	101	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
103	102	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
104	65, 98, 103	r19.29af 2994	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
105		iccgelb 11584	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
106	19, 20, 105	mp3an12 1312	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
107	104, 106	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
108	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 e. RR* )
109	12, 104	sseldi 3487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
110		brcnvg 5172	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 `' < a <-> a < 0 ) )
111	110	notbid 292	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> -. a < 0 ) )
112		xrlenlt 9641	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
113	111, 112	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
114	108, 109, 113	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
115	107, 114	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. 0 `' < a )
116	18, 25, 59, 115	supmax 7915	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) = 0 )
117	11, 116	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
118	2, 117	syl5eq 2507	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   Or wor 4788   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673   ~<_ cdom 7507   supcsup 7892   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   [,]cicc 11535  Σ^*cesum 28259  toOMeascoms 28502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-ordt 14993  df-xrs 14994  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-ps 16032  df-tsr 16033  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-ntr 19691  df-nei 19769  df-cn 19898  df-haus 19986  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-tsms 20794  df-esum 28260  df-oms 28503

This theorem is referenced by:  omsmeas  28534