Theorem oms0 29118

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	|- M = (toOMeas ` R )
oms.o	|- ( ph -> Q e. V )
oms.r	|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.d	|- ( ph -> (/) e. dom R )
oms.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0

Dummy variables x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 5878	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		oms.o	. . . 4 |- ( ph -> Q e. V )
4		oms.r	. . . 4 |- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5		0ss 3791	. . . . 5 |- (/) C_ U. dom R
6		fdm 5746	. . . . . . 7 |- ( R : Q --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = Q )
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom R = Q )
8	7	unieqd 4226	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom R = U. Q )
9	5, 8	syl5sseq 3512	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ U. Q )
10		omsfval 29111	. . . 4 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ U. Q ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
11	3, 4, 9, 10	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
12		iccssxr 11717	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
13		xrltso 11440	. . . . . 6 |- < Or RR*
14		soss 4788	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( < Or RR* -> < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
15	12, 13, 14	mp2 9	. . . . 5 |- < Or ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> < Or ( 0 [,] +oo ) )
17		0e0iccpnf 11743	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
19		oms.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. dom R )
20	19	snssd 4142	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { (/) } C_ dom R )
21		p0ex 4607	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
22	21	elpw 3985	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. ~P dom R <-> { (/) } C_ dom R )
23	20, 22	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { (/) } e. ~P dom R )
24		0ss 3791	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. { (/) }
25		0ex 4552	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
26		snct 28286	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~<_ om
28	24, 27	pm3.2i 456	. . . . . . . 8 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
29	23, 28	jctir 540	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
30		unieq 4224	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
31	30	sseq2d 3492	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
32		breq1 4423	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
33	31, 32	anbi12d 715	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
34	33	elrab 3229	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
35	29, 34	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( ph -> { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
36		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
37	36	fveq2d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
38		oms.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
39	38	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
40	37, 39	eqtrd 2463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
41	40, 19, 18	esumsn 28879	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
42	41	eqcomd 2430	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
43		esumeq1 28848	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
44	43	eqeq2d 2436	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
45	44	rspcev 3182	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
46	35, 42, 45	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
47		0xr 9687	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
48		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
49	48	elrnmpt 5096	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
51	46, 50	sylibr 215	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
52		nfv 1751	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
53		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
54	53	nfrn 5092	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
55	54	nfcri 2577	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
56	52, 55	nfan 1984	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
57		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
58		vex 3084	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
59		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
60		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
61		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
62	61	nfesum1 28854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
63	60, 62	nfmpt 4509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
64	63	nfrn 5092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
65	64	nfcri 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
66	59, 65	nfan 1984	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
67		nfv 1751	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
68	66, 67	nfan 1984	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
69	62	nfeq2 2601	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
70	68, 69	nfan 1984	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
71	4	ad4antr 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
72		ssrab2 3546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P dom R
73		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
74	72, 73	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P dom R )
75	7	pweqd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P dom R = ~P Q )
76	75	ad4antr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P dom R = ~P Q )
77	74, 76	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P Q )
78	77	elpwid 3989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ Q )
79		simpr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
80	78, 79	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. Q )
81	71, 80	ffvelrnd 6034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
82	81	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
83	70, 82	ralrimi 2825	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	61	esumcl 28844	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	58, 83, 84	sylancr 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
86	57, 85	eqeltrd 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
87		vex 3084	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
88	48	elrnmpt 5096	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
90	89	biimpi 197	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
91	90	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
92	56, 86, 91	r19.29af 2968	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
93		pnfxr 11412	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
94		iccgelb 11691	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
95	47, 93, 94	mp3an12 1350	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
96	92, 95	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
97	12, 92	sseldi 3462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
98		xrlenlt 9699	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
99	98	bicomd 204	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. a < 0 <-> 0 <_ a ) )
100	47, 97, 99	sylancr 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. a < 0 <-> 0 <_ a ) )
101	96, 100	mpbird 235	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. a < 0 )
102	16, 18, 51, 101	infmin 8012	. . 3 |- ( ph -> inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) = 0 )
103	11, 102	eqtrd 2463	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
104	2, 103	syl5eq 2475	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   Or wor 4769   dom cdm 4849   ran crn 4850   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   omcom 6702   ~<_ cdom 7571  infcinf 7957   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   [,]cicc 11638  Σ^*cesum 28841  toOMeascoms 29106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-ordt 15384  df-xrs 15385  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-ps 16431  df-tsr 16432  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-ntr 20019  df-nei 20098  df-cn 20227  df-haus 20315  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-tsms 21125  df-esum 28842  df-oms 29108

This theorem is referenced by:  omsmeas  29148