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Theorem oms0 29118
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.d  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
oms.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
oms0  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )

Proof of Theorem oms0
Dummy variables  x  y  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
21fveq1i 5878 . 2  |-  ( M `
 (/) )  =  ( (toOMeas `  R ) `  (/) )
3 oms.o . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
4 oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5 0ss 3791 . . . . 5  |-  (/)  C_  U. dom  R
6 fdm 5746 . . . . . . 7  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
74, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
87unieqd 4226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. Q )
95, 8syl5sseq 3512 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  U. Q )
10 omsfval 29111 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  (/)  C_  U. Q )  -> 
( (toOMeas `  R
) `  (/) )  = inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  ) )
113, 4, 9, 10syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  = inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  ) )
12 iccssxr 11717 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
13 xrltso 11440 . . . . . 6  |-  <  Or  RR*
14 soss 4788 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  (  <  Or  RR* 
->  <  Or  ( 0 [,] +oo ) ) )
1512, 13, 14mp2 9 . . . . 5  |-  <  Or  ( 0 [,] +oo )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  <  Or  ( 0 [,] +oo ) )
17 0e0iccpnf 11743 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
19 oms.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
2019snssd 4142 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { (/) }  C_  dom  R )
21 p0ex 4607 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
2221elpw 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  ~P dom  R  <->  { (/) }  C_  dom  R )
2320, 22sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  ~P dom  R )
24 0ss 3791 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. { (/)
}
25 0ex 4552 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
26 snct 28286 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  ~<_  om )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  ~<_  om
2824, 27pm3.2i 456 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  C_ 
U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
2923, 28jctir 540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
30 unieq 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  U. z  =  U. { (/)
} )
3130sseq2d 3492 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
(/)  C_  U. z  <->  (/)  C_  U. { (/)
} ) )
32 breq1 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  ~<_  om  <->  { (/) }  ~<_  om )
)
3331, 32anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  <->  (
(/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
) )
3433elrab 3229 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 
<->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
3529, 34sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
36 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  (/) )
3736fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  (/) ) )
38 oms.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
3938adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4037, 39eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  0 )
4140, 19, 18esumsn 28879 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )  =  0 )
4241eqcomd 2430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  = Σ* y  e.  { (/)
}  ( R `  y ) )
43 esumeq1 28848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )
4443eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( 0  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)  <->  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) ) )
4544rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  /\  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
4635, 42, 45syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
47 0xr 9687 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
48 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
4948elrnmpt 5096 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
5047, 49ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5146, 50sylibr 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
52 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
53 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5453nfrn 5092 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5554nfcri 2577 . . . . . . . 8  |-  F/ x  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5652, 55nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
57 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)
58 vex 3084 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
59 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
60 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }
61 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
6261nfesum1 28854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ yΣ* y  e.  x ( R `  y )
6360, 62nfmpt 4509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6463nfrn 5092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6564nfcri 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6659, 65nfan 1984 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
67 nfv 1751 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
6866, 67nfan 1984 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
6962nfeq2 2601 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)
7068, 69nfan 1984 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
714ad4antr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
72 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P dom  R
73 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
7472, 73sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P dom  R )
757pweqd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P dom  R  =  ~P Q )
7675ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ~P dom  R  =  ~P Q
)
7774, 76eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P Q )
7877elpwid 3989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  Q )
79 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
8078, 79sseldd 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Q )
8171, 80ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8281ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  (
y  e.  x  -> 
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
8370, 82ralrimi 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8461esumcl 28844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8558, 83, 84sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8657, 85eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
87 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
8848elrnmpt 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
9089biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
9190adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
9256, 86, 91r19.29af 2968 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
93 pnfxr 11412 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
94 iccgelb 11691 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  a )
9547, 93, 94mp3an12 1350 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
9692, 95syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  0  <_  a )
9712, 92sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  RR* )
98 xrlenlt 9699 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0  <_  a  <->  -.  a  <  0 ) )
9998bicomd 204 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  a  <  0  <->  0  <_  a ) )
10047, 97, 99sylancr 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  ( -.  a  <  0  <->  0  <_  a ) )
10196, 100mpbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  -.  a  <  0 )
10216, 18, 51, 101infmin 8012 . . 3  |-  ( ph  -> inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  )  =  0 )
10311, 102eqtrd 2463 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  0 )
1042, 103syl5eq 2475 1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    Or wor 4769   dom cdm 4849   ran crn 4850   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   omcom 6702    ~<_ cdom 7571  infcinf 7957   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   [,]cicc 11638  Σ*cesum 28841  toOMeascoms 29106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-ordt 15384  df-xrs 15385  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-ps 16431  df-tsr 16432  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-ntr 20019  df-nei 20098  df-cn 20227  df-haus 20315  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-tsms 21125  df-esum 28842  df-oms 29108
This theorem is referenced by:  omsmeas  29148
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