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Theorem oms0 27934
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
oms0  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )

Proof of Theorem oms0
Dummy variables  a  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
21fveq1i 5867 . 2  |-  ( M `
 (/) )  =  ( (toOMeas `  R ) `  (/) )
3 oms.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
4 elex 3122 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
6 oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7 0ss 3814 . . . . 5  |-  (/)  C_  O
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  O )
9 omsfval 27933 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  /\  (/)  C_  O )  ->  (
(toOMeas `  R ) `  (/) )  =  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
11 iccssxr 11607 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
12 xrltso 11347 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR*
13 cnvso 5546 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
1412, 13mpbi 208 . . . . . 6  |-  `'  <  Or 
RR*
15 soss 4818 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( `'  <  Or 
RR*  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) ) )
1611, 14, 15mp2 9 . . . . 5  |-  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) )
18 0xr 9640 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 11321 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
20 pnfge 11339 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_ +oo
22 lbicc2 11636 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2318, 19, 21, 22mp3an 1324 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 0ss 3814 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  U. dom  R
26 0ex 4577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
2726elpw 4016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ~P U. dom  R  <->  (/)  C_ 
U. dom  R )
2825, 27mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  ~P U.
dom  R
2926snss 4151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ~P U. dom  R  <->  {
(/) }  C_  ~P U. dom  R )
3028, 29mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) } 
C_  ~P U. dom  R
31 p0ex 4634 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
3231elpw 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  ~P ~P U. dom  R  <->  { (/) }  C_  ~P U. dom  R )
3330, 32mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  ~P ~P U. dom  R
34 0ss 3814 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  U. { (/)
}
35 snct 27234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  ~<_  om )
3626, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  ~<_  om
3734, 36pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  C_ 
U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
3833, 37pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  e.  ~P ~P U. dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
)
39 unieq 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { (/) }  ->  U. z  =  U. { (/)
} )
4039sseq2d 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
(/)  C_  U. z  <->  (/)  C_  U. { (/)
} ) )
41 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  ~<_  om  <->  { (/) }  ~<_  om )
)
4240, 41anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  <->  (
(/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
) )
4342elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  <->  ( { (/)
}  e.  ~P ~P U.
dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
4438, 43mpbir 209 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
46 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  (/) )
4746fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  (/) ) )
48 oms.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
5047, 49eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  0 )
5126a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
5250, 51, 24esumsn 27740 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )  =  0 )
5352eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  = Σ* y  e.  { (/)
}  ( R `  y ) )
54 esumeq1 27715 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )
5554eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( 0  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)  <->  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) ) )
5655rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( { (/) }  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  /\  0  = Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )
)  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5745, 53, 56syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
58 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5958elrnmpt 5249 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) ) )
6018, 59ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
6157, 60sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
62 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
63 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
a
64 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
6564nfrn 5245 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
6663, 65nfel 2642 . . . . . . . 8  |-  F/ x  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6762, 66nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
68 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
69 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  x  e.  _V )
71 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
72 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
a
73 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
74 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
7574nfesum1 27721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ yΣ* y  e.  x ( R `  y )
7673, 75nfmpt 4535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
7776nfrn 5245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
7872, 77nfel 2642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
7971, 78nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
80 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }
8179, 80nfan 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8272, 75nfeq 2640 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)
8381, 82nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)
846ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
85 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P ~P U. dom  R
86 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8785, 86sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P ~P U. dom  R )
88 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  ~P O
)
896, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  R  =  ~P O )
9089unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. ~P O )
91 unipw 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ~P O  =  O
9290, 91syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U. dom  R  =  O )
9392pweqd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ~P U. dom  R  =  ~P O )
9493pweqd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P ~P U. dom  R  =  ~P ~P O
)
9594ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  ~P ~P U. dom  R  =  ~P ~P O )
9687, 95eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P ~P O )
97 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ~P O  ->  x  C_  ~P O
)
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  C_ 
~P O )
99 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
10098, 99sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ~P O )
10184, 100ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
102101ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( R `
 y )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
10383, 102ralrimi 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
10474esumcl 27711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10570, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10668, 105eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
107 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
10858elrnmpt 5249 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  <->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
110109biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
111110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
11267, 106, 111r19.29af 3001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
113 iccgelb 11581 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  a )
11418, 19, 113mp3an12 1314 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
115112, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
0  <_  a )
11618a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
0  e.  RR* )
11711, 112sseldi 3502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
a  e.  RR* )
118 brcnvg 5183 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0 `'  <  a  <->  a  <  0 ) )
119118notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  -.  a  <  0 ) )
120 xrlenlt 9652 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0  <_  a  <->  -.  a  <  0 ) )
121119, 120bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
122116, 117, 121syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
123115, 122mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  ->  -.  0 `'  <  a
)
12417, 24, 61, 123supmax 7925 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  0 )
12510, 124eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  0 )
1262, 125syl5eq 2520 1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    Or wor 4799   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   omcom 6684    ~<_ cdom 7514   supcsup 7900   0cc0 9492   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   [,]cicc 11532  Σ*cesum 27708  toOMeascoms 27930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-cn 19522  df-haus 19610  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tsms 20388  df-esum 27709  df-oms 27931
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