Theorem oms0 26710

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	|- M = (toOMeas ` R )
oms.o	|- ( ph -> O e. V )
oms.r	|- ( ph -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0

Dummy variables a x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 5692	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		oms.o	. . . . 5 |- ( ph -> O e. V )
4		elex 2981	. . . . 5 |- ( O e. V -> O e. _V )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> O e. _V )
6		oms.r	. . . 4 |- ( ph -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7		0ss 3666	. . . . 5 |- (/) C_ O
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ O )
9		omsfval 26709	. . . 4 |- ( ( O e. _V /\ R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ O ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
11		iccssxr 11378	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
12		xrltso 11118	. . . . . . 7 |- < Or RR*
13		cnvso 5376	. . . . . . 7 |- ( < Or RR* <-> `' < Or RR* )
14	12, 13	mpbi 208	. . . . . 6 |- `' < Or RR*
15		soss 4659	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( `' < Or RR* -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
16	11, 14, 15	mp2 9	. . . . 5 |- `' < Or ( 0 [,] +oo )
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) )
18		0xr 9430	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
19		pnfxr 11092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
20		pnfge 11110	. . . . . . 7 |- ( 0 e. RR* -> 0 <_ +oo )
21	18, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 <_ +oo
22		lbicc2 11401	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
23	18, 19, 21, 22	mp3an 1314	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
24	23	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
25		0ss 3666	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) C_ U. dom R
26		0ex 4422	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
27	26	elpw 3866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ~P U. dom R <-> (/) C_ U. dom R )
28	25, 27	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ~P U. dom R
29	26	snss 3999	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ~P U. dom R <-> { (/) } C_ ~P U. dom R )
30	28, 29	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } C_ ~P U. dom R
31		p0ex 4479	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
32	31	elpw 3866	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R <-> { (/) } C_ ~P U. dom R )
33	30, 32	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. ~P ~P U. dom R
34		0ss 3666	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ U. { (/) }
35		snct 26011	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
36	26, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } ~<_ om
37	34, 36	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
38	33, 37	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) )
39		unieq 4099	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
40	39	sseq2d 3384	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
41		breq1 4295	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
42	40, 41	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
43	42	elrab 3117	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
44	38, 43	mpbir 209	. . . . . . 7 |- { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
45	44	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
46		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
47	46	fveq2d 5695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
48		oms.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
50	47, 49	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
51	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. _V )
52	50, 51, 24	esumsn 26515	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
53	52	eqcomd 2448	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
54		esumeq1 26490	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
55	54	eqeq2d 2454	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
56	55	rspcev 3073	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
57	45, 53, 56	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
58		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
59	58	elrnmpt 5086	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
60	18, 59	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
61	57, 60	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
62		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
63		nfcv 2579	. . . . . . . . 9 |- F/_ x a
64		nfmpt1 4381	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
65	64	nfrn 5082	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
66	63, 65	nfel 2587	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
67	62, 66	nfan 1861	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
68		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
69		vex 2975	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
70	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> x e. _V )
71		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
72		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y a
73		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
74		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
75	74	nfesum1 26496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
76	73, 75	nfmpt 4380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
77	76	nfrn 5082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
78	72, 77	nfel 2587	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
79	71, 78	nfan 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
80		nfv 1673	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
81	79, 80	nfan 1861	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
82	72, 75	nfeq 2586	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
83	81, 82	nfan 1861	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
84	6	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
85		ssrab2 3437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P ~P U. dom R
86		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
87	85, 86	sseldi 3354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P ~P U. dom R )
88		fdm 5563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = ~P O )
89	6, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom R = ~P O )
90	89	unieqd 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> U. dom R = U. ~P O )
91		unipw 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. ~P O = O
92	90, 91	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U. dom R = O )
93	92	pweqd 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ~P U. dom R = ~P O )
94	93	pweqd 3865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P ~P U. dom R = ~P ~P O )
95	94	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P ~P U. dom R = ~P ~P O )
96	87, 95	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P ~P O )
97		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ~P O -> x C_ ~P O )
98	96, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ ~P O )
99		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
100	98, 99	sseldd 3357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. ~P O )
101	84, 100	ffvelrnd 5844	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102	101	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
103	83, 102	ralrimi 2797	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
104	74	esumcl 26486	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105	70, 103, 104	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
106	68, 105	eqeltrd 2517	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
107		vex 2975	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
108	58	elrnmpt 5086	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
110	109	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
111	110	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
112	67, 106, 111	r19.29af 2861	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
113		iccgelb 11352	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
114	18, 19, 113	mp3an12 1304	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
115	112, 114	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
116	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 e. RR* )
117	11, 112	sseldi 3354	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
118		brcnvg 5020	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 `' < a <-> a < 0 ) )
119	118	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> -. a < 0 ) )
120		xrlenlt 9442	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
121	119, 120	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
122	116, 117, 121	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
123	115, 122	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. 0 `' < a )
124	17, 24, 61, 123	supmax 7715	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) = 0 )
125	10, 124	eqtrd 2475	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
126	2, 125	syl5eq 2487	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   Or wor 4640   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476   ~<_ cdom 7308   supcsup 7690   0cc0 9282   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   < clt 9418   <_ cle 9419   [,]cicc 11303  Σ^*cesum 26483  toOMeascoms 26706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-cn 18831  df-haus 18919  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tsms 19697  df-esum 26484  df-oms 26707

This theorem is referenced by: (None)