Theorem oms0 28244

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	|- M = (toOMeas ` R )
oms.o	|- ( ph -> O e. V )
oms.r	|- ( ph -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0

Dummy variables a x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 5857	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		oms.o	. . . . 5 |- ( ph -> O e. V )
4		elex 3104	. . . . 5 |- ( O e. V -> O e. _V )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> O e. _V )
6		oms.r	. . . 4 |- ( ph -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7		0ss 3800	. . . . 5 |- (/) C_ O
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ O )
9		omsfval 28243	. . . 4 |- ( ( O e. _V /\ R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ O ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1229	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) )
11		iccssxr 11618	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
12		xrltso 11358	. . . . . . 7 |- < Or RR*
13		cnvso 5536	. . . . . . 7 |- ( < Or RR* <-> `' < Or RR* )
14	12, 13	mpbi 208	. . . . . 6 |- `' < Or RR*
15		soss 4808	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( `' < Or RR* -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
16	11, 14, 15	mp2 9	. . . . 5 |- `' < Or ( 0 [,] +oo )
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> `' < Or ( 0 [,] +oo ) )
18		0e0iccpnf 11642	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
20		0elpw 4606	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ~P U. dom R
21		0ex 4567	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
22	21	snss 4139	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. ~P U. dom R <-> { (/) } C_ ~P U. dom R )
23	20, 22	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- { (/) } C_ ~P U. dom R
24		p0ex 4624	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
25	24	elpw 4003	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R <-> { (/) } C_ ~P U. dom R )
26	23, 25	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- { (/) } e. ~P ~P U. dom R
27		0ss 3800	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. { (/) }
28		snct 27512	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
29	21, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~<_ om
30	27, 29	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
31	26, 30	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) )
32		unieq 4242	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
33	32	sseq2d 3517	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
34		breq1 4440	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
35	33, 34	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
36	35	elrab 3243	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P ~P U. dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
37	31, 36	mpbir 209	. . . . . 6 |- { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
38		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
39	38	fveq2d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
40		oms.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
42	39, 41	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
43	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. _V )
44	42, 43, 19	esumsn 28050	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
45	44	eqcomd 2451	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
46		esumeq1 28025	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
47	46	eqeq2d 2457	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
48	47	rspcev 3196	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
49	37, 45, 48	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
50		0xr 9643	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
51		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
52	51	elrnmpt 5239	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
53	50, 52	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
54	49, 53	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
55		nfv 1694	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
56		nfmpt1 4526	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
57	56	nfrn 5235	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
58	57	nfcri 2598	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
59	55, 58	nfan 1914	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
60		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
61		vex 3098	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
62		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
63		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
64		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
65	64	nfesum1 28031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
66	63, 65	nfmpt 4525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
67	66	nfrn 5235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
68	67	nfcri 2598	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
69	62, 68	nfan 1914	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
70		nfv 1694	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
71	69, 70	nfan 1914	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
72	65	nfeq2 2622	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
73	71, 72	nfan 1914	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
74	6	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
75		ssrab2 3570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P ~P U. dom R
76		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
77	75, 76	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P ~P U. dom R )
78		fdm 5725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = ~P O )
79	6, 78	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom R = ~P O )
80	79	unieqd 4244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> U. dom R = U. ~P O )
81		unipw 4687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. ~P O = O
82	80, 81	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U. dom R = O )
83	82	pweqd 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ~P U. dom R = ~P O )
84	83	pweqd 4002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P ~P U. dom R = ~P ~P O )
85	84	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P ~P U. dom R = ~P ~P O )
86	77, 85	eleqtrd 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P ~P O )
87	86	elpwid 4007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ ~P O )
88		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
89	87, 88	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. ~P O )
90	74, 89	ffvelrnd 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
91	90	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
92	73, 91	ralrimi 2843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
93	64	esumcl 28021	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94	61, 92, 93	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
95	60, 94	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
96		vex 3098	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
97	51	elrnmpt 5239	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
99	98	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
100	99	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
101	59, 95, 100	r19.29af 2983	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
102		pnfxr 11332	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
103		iccgelb 11592	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
104	50, 102, 103	mp3an12 1315	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
105	101, 104	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
106	11, 101	sseldi 3487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
107		brcnvg 5173	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 `' < a <-> a < 0 ) )
108	107	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> -. a < 0 ) )
109		xrlenlt 9655	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
110	108, 109	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
111	50, 106, 110	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. 0 `' < a <-> 0 <_ a ) )
112	105, 111	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. 0 `' < a )
113	17, 19, 54, 112	supmax 7926	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. { z e. ~P ~P U. dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , `' < ) = 0 )
114	10, 113	eqtrd 2484	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
115	2, 114	syl5eq 2496	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   Or wor 4789   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   omcom 6685   ~<_ cdom 7516   supcsup 7902   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   [,]cicc 11543  Σ^*cesum 28018  toOMeascoms 28240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-xadd 11330  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-ordt 14880  df-xrs 14881  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-ntr 19499  df-nei 19577  df-cn 19706  df-haus 19794  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-tsms 20603  df-esum 28019  df-oms 28241

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