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Theorem oms0 26710
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
oms0  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )

Proof of Theorem oms0
Dummy variables  a  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
21fveq1i 5692 . 2  |-  ( M `
 (/) )  =  ( (toOMeas `  R ) `  (/) )
3 oms.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
4 elex 2981 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
6 oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7 0ss 3666 . . . . 5  |-  (/)  C_  O
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  O )
9 omsfval 26709 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  /\  (/)  C_  O )  ->  (
(toOMeas `  R ) `  (/) )  =  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
11 iccssxr 11378 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
12 xrltso 11118 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR*
13 cnvso 5376 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
1412, 13mpbi 208 . . . . . 6  |-  `'  <  Or 
RR*
15 soss 4659 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( `'  <  Or 
RR*  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) ) )
1611, 14, 15mp2 9 . . . . 5  |-  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) )
18 0xr 9430 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 11092 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
20 pnfge 11110 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_ +oo
22 lbicc2 11401 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2318, 19, 21, 22mp3an 1314 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 0ss 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  U. dom  R
26 0ex 4422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
2726elpw 3866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ~P U. dom  R  <->  (/)  C_ 
U. dom  R )
2825, 27mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  ~P U.
dom  R
2926snss 3999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ~P U. dom  R  <->  {
(/) }  C_  ~P U. dom  R )
3028, 29mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) } 
C_  ~P U. dom  R
31 p0ex 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
3231elpw 3866 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  ~P ~P U. dom  R  <->  { (/) }  C_  ~P U. dom  R )
3330, 32mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  ~P ~P U. dom  R
34 0ss 3666 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  U. { (/)
}
35 snct 26011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  ~<_  om )
3626, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  ~<_  om
3734, 36pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  C_ 
U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
3833, 37pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  e.  ~P ~P U. dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
)
39 unieq 4099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { (/) }  ->  U. z  =  U. { (/)
} )
4039sseq2d 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
(/)  C_  U. z  <->  (/)  C_  U. { (/)
} ) )
41 breq1 4295 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  ~<_  om  <->  { (/) }  ~<_  om )
)
4240, 41anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  <->  (
(/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
) )
4342elrab 3117 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  <->  ( { (/)
}  e.  ~P ~P U.
dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
4438, 43mpbir 209 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
46 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  (/) )
4746fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  (/) ) )
48 oms.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
5047, 49eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  0 )
5126a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
5250, 51, 24esumsn 26515 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )  =  0 )
5352eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  = Σ* y  e.  { (/)
}  ( R `  y ) )
54 esumeq1 26490 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )
5554eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( 0  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)  <->  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) ) )
5655rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( { (/) }  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  /\  0  = Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )
)  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5745, 53, 56syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
58 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5958elrnmpt 5086 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) ) )
6018, 59ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
6157, 60sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
62 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
63 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
a
64 nfmpt1 4381 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
6564nfrn 5082 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
6663, 65nfel 2587 . . . . . . . 8  |-  F/ x  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6762, 66nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
68 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
69 vex 2975 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  x  e.  _V )
71 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
72 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
a
73 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
74 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
7574nfesum1 26496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ yΣ* y  e.  x ( R `  y )
7673, 75nfmpt 4380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
7776nfrn 5082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
7872, 77nfel 2587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
7971, 78nfan 1861 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
80 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }
8179, 80nfan 1861 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8272, 75nfeq 2586 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)
8381, 82nfan 1861 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)
846ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
85 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P ~P U. dom  R
86 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8785, 86sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P ~P U. dom  R )
88 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  ~P O
)
896, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  R  =  ~P O )
9089unieqd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. ~P O )
91 unipw 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ~P O  =  O
9290, 91syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U. dom  R  =  O )
9392pweqd 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ~P U. dom  R  =  ~P O )
9493pweqd 3865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P ~P U. dom  R  =  ~P ~P O
)
9594ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  ~P ~P U. dom  R  =  ~P ~P O )
9687, 95eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P ~P O )
97 elpwi 3869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ~P O  ->  x  C_  ~P O
)
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  C_ 
~P O )
99 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
10098, 99sseldd 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ~P O )
10184, 100ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
102101ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( R `
 y )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
10383, 102ralrimi 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
10474esumcl 26486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10570, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10668, 105eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
107 vex 2975 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
10858elrnmpt 5086 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  <->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
110109biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
111110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
11267, 106, 111r19.29af 2861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
113 iccgelb 11352 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  a )
11418, 19, 113mp3an12 1304 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
115112, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
0  <_  a )
11618a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
0  e.  RR* )
11711, 112sseldi 3354 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
a  e.  RR* )
118 brcnvg 5020 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0 `'  <  a  <->  a  <  0 ) )
119118notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  -.  a  <  0 ) )
120 xrlenlt 9442 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0  <_  a  <->  -.  a  <  0 ) )
121119, 120bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
122116, 117, 121syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
123115, 122mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  ->  -.  0 `'  <  a
)
12417, 24, 61, 123supmax 7715 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  0 )
12510, 124eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  0 )
1262, 125syl5eq 2487 1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    Or wor 4640   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476    ~<_ cdom 7308   supcsup 7690   0cc0 9282   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   [,]cicc 11303  Σ*cesum 26483  toOMeascoms 26706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-cn 18831  df-haus 18919  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tsms 19697  df-esum 26484  df-oms 26707
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