Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oms0 Structured version   Unicode version

Theorem oms0 28244
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
oms0  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )

Proof of Theorem oms0
Dummy variables  a  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
21fveq1i 5857 . 2  |-  ( M `
 (/) )  =  ( (toOMeas `  R ) `  (/) )
3 oms.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
4 elex 3104 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
6 oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
7 0ss 3800 . . . . 5  |-  (/)  C_  O
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  O )
9 omsfval 28243 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  /\  (/)  C_  O )  ->  (
(toOMeas `  R ) `  (/) )  =  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
11 iccssxr 11618 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
12 xrltso 11358 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR*
13 cnvso 5536 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
1412, 13mpbi 208 . . . . . 6  |-  `'  <  Or 
RR*
15 soss 4808 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( `'  <  Or 
RR*  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) ) )
1611, 14, 15mp2 9 . . . . 5  |-  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) )
18 0e0iccpnf 11642 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 0elpw 4606 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P U.
dom  R
21 0ex 4567 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
2221snss 4139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  ~P U. dom  R  <->  {
(/) }  C_  ~P U. dom  R )
2320, 22mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  { (/) } 
C_  ~P U. dom  R
24 p0ex 4624 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
2524elpw 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  ~P ~P U. dom  R  <->  { (/) }  C_  ~P U. dom  R )
2623, 25mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  { (/) }  e.  ~P ~P U. dom  R
27 0ss 3800 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. { (/)
}
28 snct 27512 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  ~<_  om )
2921, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  ~<_  om
3027, 29pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  C_ 
U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
3126, 30pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  ~P ~P U. dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
)
32 unieq 4242 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  U. z  =  U. { (/)
} )
3332sseq2d 3517 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
(/)  C_  U. z  <->  (/)  C_  U. { (/)
} ) )
34 breq1 4440 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  ~<_  om  <->  { (/) }  ~<_  om )
)
3533, 34anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  <->  (
(/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
) )
3635elrab 3243 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  <->  ( { (/)
}  e.  ~P ~P U.
dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
3731, 36mpbir 209 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
38 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  (/) )
3938fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  (/) ) )
40 oms.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4140adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4239, 41eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  0 )
4321a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
4442, 43, 19esumsn 28050 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )  =  0 )
4544eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  = Σ* y  e.  { (/)
}  ( R `  y ) )
46 esumeq1 28025 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )
4746eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( 0  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)  <->  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) ) )
4847rspcev 3196 . . . . . 6  |-  ( ( { (/) }  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  /\  0  = Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )
)  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
4937, 45, 48sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
50 0xr 9643 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
51 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5251elrnmpt 5239 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) ) )
5350, 52ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
5449, 53sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
55 nfv 1694 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
56 nfmpt1 4526 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
5756nfrn 5235 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
5857nfcri 2598 . . . . . . . 8  |-  F/ x  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5955, 58nfan 1914 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
60 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
61 vex 3098 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
62 nfv 1694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
63 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
64 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
6564nfesum1 28031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ yΣ* y  e.  x ( R `  y )
6663, 65nfmpt 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
6766nfrn 5235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
6867nfcri 2598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
6962, 68nfan 1914 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
70 nfv 1694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }
7169, 70nfan 1914 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
7265nfeq2 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)
7371, 72nfan 1914 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)
746ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
75 ssrab2 3570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P ~P U. dom  R
76 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
7775, 76sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P ~P U. dom  R )
78 fdm 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  ~P O
)
796, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  R  =  ~P O )
8079unieqd 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. ~P O )
81 unipw 4687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ~P O  =  O
8280, 81syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U. dom  R  =  O )
8382pweqd 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ~P U. dom  R  =  ~P O )
8483pweqd 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P ~P U. dom  R  =  ~P ~P O
)
8584ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  ~P ~P U. dom  R  =  ~P ~P O )
8677, 85eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P ~P O )
8786elpwid 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  C_ 
~P O )
88 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
8987, 88sseldd 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ~P O )
9074, 89ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9190ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( R `
 y )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
9273, 91ralrimi 2843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9364esumcl 28021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9461, 92, 93sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9560, 94eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
96 vex 3098 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
9751elrnmpt 5239 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  <->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
9998biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
10099adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
10159, 95, 100r19.29af 2983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
102 pnfxr 11332 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
103 iccgelb 11592 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  a )
10450, 102, 103mp3an12 1315 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
105101, 104syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
0  <_  a )
10611, 101sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
a  e.  RR* )
107 brcnvg 5173 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0 `'  <  a  <->  a  <  0 ) )
108107notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  -.  a  <  0 ) )
109 xrlenlt 9655 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0  <_  a  <->  -.  a  <  0 ) )
110108, 109bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
11150, 106, 110sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  -> 
( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
112105, 111mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )  ->  -.  0 `'  <  a
)
11317, 19, 54, 112supmax 7926 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  0 )
11410, 113eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  0 )
1152, 114syl5eq 2496 1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    Or wor 4789   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   omcom 6685    ~<_ cdom 7516   supcsup 7902   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   [,]cicc 11543  Σ*cesum 28018  toOMeascoms 28240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-xadd 11330  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-ordt 14880  df-xrs 14881  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-ntr 19499  df-nei 19577  df-cn 19706  df-haus 19794  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-tsms 20603  df-esum 28019  df-oms 28241
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator