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Theorem oms0 28508
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.d  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
oms.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
oms0  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )

Proof of Theorem oms0
Dummy variables  x  y  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
21fveq1i 5849 . 2  |-  ( M `
 (/) )  =  ( (toOMeas `  R ) `  (/) )
3 oms.o . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
4 oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5 0ss 3813 . . . . 5  |-  (/)  C_  U. dom  R
6 fdm 5717 . . . . . . 7  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
87unieqd 4245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. Q )
95, 8syl5sseq 3537 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  U. Q )
10 omsfval 28505 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  (/)  C_  U. Q )  -> 
( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
113, 4, 9, 10syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
12 iccssxr 11610 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
13 xrltso 11350 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR*
14 cnvso 5529 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
1513, 14mpbi 208 . . . . . 6  |-  `'  <  Or 
RR*
16 soss 4807 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( `'  <  Or 
RR*  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) ) )
1712, 15, 16mp2 9 . . . . 5  |-  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  ( 0 [,] +oo ) )
19 0xr 9629 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
20 pnfxr 11324 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
21 pnfge 11342 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
2219, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_ +oo
23 lbicc2 11639 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2419, 20, 22, 23mp3an 1322 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
26 oms.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  R )
27 0ex 4569 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
2827snss 4140 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  dom  R  <->  { (/) }  C_  dom  R )
2926, 28sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { (/) }  C_  dom  R )
30 p0ex 4624 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
3130elpw 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  ~P dom  R  <->  { (/) }  C_  dom  R )
3229, 31sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  ~P dom  R )
33 0ss 3813 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. { (/)
}
34 snct 27767 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  ~<_  om )
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  ~<_  om
3633, 35pm3.2i 453 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  C_ 
U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
3732, 36jctir 536 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
38 unieq 4243 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  U. z  =  U. { (/)
} )
3938sseq2d 3517 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
(/)  C_  U. z  <->  (/)  C_  U. { (/)
} ) )
40 breq1 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  ~<_  om  <->  { (/) }  ~<_  om )
)
4139, 40anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  <->  (
(/)  C_  U. { (/) }  /\  { (/) }  ~<_  om )
) )
4241elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 
<->  ( { (/) }  e.  ~P dom  R  /\  ( (/)  C_  U. { (/) }  /\  {
(/) }  ~<_  om )
) )
4337, 42sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
44 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  (/) )
4544fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  (/) ) )
46 oms.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4746adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
4845, 47eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( R `  y )  =  0 )
4927a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
5048, 49, 25esumsn 28297 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { (/) }  ( R `  y )  =  0 )
5150eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  = Σ* y  e.  { (/)
}  ( R `  y ) )
52 esumeq1 28266 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )
5352eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( 0  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)  <->  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) ) )
5453rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( { (/) }  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  /\  0  = Σ* y  e. 
{ (/) }  ( R `
 y ) )  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5543, 51, 54syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
56 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5756elrnmpt 5238 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
5819, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } 0  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
5955, 58sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
60 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
61 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
a
62 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6362nfrn 5234 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6461, 63nfel 2629 . . . . . . . 8  |-  F/ x  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
6560, 64nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
66 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  = Σ* y  e.  x ( R `  y )
)
67 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  x  e.  _V )
69 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
70 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
a
71 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }
72 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
7372nfesum1 28272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ yΣ* y  e.  x ( R `  y )
7471, 73nfmpt 4527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7574nfrn 5234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7670, 75nfel 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
7769, 76nfan 1933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
78 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }
7977, 78nfan 1933 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8070, 73nfeq 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
)
8179, 80nfan 1933 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
824ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
83 ssrab2 3571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P dom  R
84 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
8583, 84sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P dom  R )
867pweqd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P dom  R  =  ~P Q )
8786ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ~P dom  R  =  ~P Q
)
8885, 87eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P Q )
89 elpwi 4008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P Q  ->  x  C_  Q )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  Q )
91 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
9290, 91sseldd 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Q )
9382, 92ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9493ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  (
y  e.  x  -> 
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
9581, 94ralrimi 2854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9672esumcl 28262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9768, 95, 96syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9866, 97eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  a  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
99 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
10056elrnmpt 5238 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  <->  E. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
102101biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
103102adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  E. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) } a  = Σ* y  e.  x ( R `
 y ) )
10465, 98, 103r19.29af 2994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
105 iccgelb 11584 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  a )
10619, 20, 105mp3an12 1312 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
107104, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  0  <_  a )
10819a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
10912, 104sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  a  e.  RR* )
110 brcnvg 5172 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0 `'  <  a  <->  a  <  0 ) )
111110notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  -.  a  <  0 ) )
112 xrlenlt 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
0  <_  a  <->  -.  a  <  0 ) )
113111, 112bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
114108, 109, 113syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  ( -.  0 `'  <  a  <->  0  <_  a ) )
115107, 114mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )  ->  -.  0 `'  <  a )
11618, 25, 59, 115supmax 7915 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( (/)  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  0 )
11711, 116eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  (/) )  =  0 )
1182, 117syl5eq 2507 1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    Or wor 4788   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   supcsup 7892   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   [,]cicc 11535  Σ*cesum 28259  toOMeascoms 28502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-ordt 14993  df-xrs 14994  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-ps 16032  df-tsr 16033  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-ntr 19691  df-nei 19769  df-cn 19898  df-haus 19986  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-tsms 20794  df-esum 28260  df-oms 28503
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