MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omordlim Structured version   Unicode version

Theorem omordlim 7244
Description: Ordering involving the product of a limit ordinal. Proposition 8.23 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordlim  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  /\  C  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem omordlim
StepHypRef Expression
1 omlim 7201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
21eleq2d 2527 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( C  e.  ( A  .o  B
)  <->  C  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) ) )
3 eliun 4337 . . 3  |-  ( C  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
42, 3syl6bb 261 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( C  e.  ( A  .o  B
)  <->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x ) ) )
54biimpa 484 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  /\  C  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1819   E.wrex 2808   U_ciun 4332   Oncon0 4887   Lim wlim 4888  (class class class)co 6296    .o comu 7146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-omul 7153
This theorem is referenced by:  odi  7246  omass  7247  oaabs2  7312
  Copyright terms: Public domain W3C validator