MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omordlim Structured version   Unicode version

Theorem omordlim 7014
Description: Ordering involving the product of a limit ordinal. Proposition 8.23 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordlim  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  /\  C  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem omordlim
StepHypRef Expression
1 omlim 6971 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
21eleq2d 2508 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( C  e.  ( A  .o  B
)  <->  C  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) ) )
3 eliun 4173 . . 3  |-  ( C  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
42, 3syl6bb 261 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( C  e.  ( A  .o  B
)  <->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x ) ) )
54biimpa 484 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  /\  C  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   U_ciun 4169   Oncon0 4717   Lim wlim 4718  (class class class)co 6089    .o comu 6916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-omul 6923
This theorem is referenced by:  odi  7016  omass  7017  oaabs2  7082
  Copyright terms: Public domain W3C validator