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Theorem omordi 7212
Description: Ordering property of ordinal multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordi  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem omordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4903 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21ex 434 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
3 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (/) ) )
4 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  (/) ) )
54eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
63, 5imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  e.  x  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  (/) ) ) ) )
7 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
8 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  y
) )
98eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )
107, 9imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )
11 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  e.  x  <->  A  e.  suc  y ) )
12 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  .o  x
)  =  ( C  .o  suc  y ) )
1312eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  suc  y ) ) )
1411, 13imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) )
15 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
16 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  B
) )
1716eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
1815, 17imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
19 noel 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  A  e.  (/)
2019pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
22 elsuci 4944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
23 omcl 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  .o  y
)  e.  On )
24 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  C  e.  On )
2523, 24jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On ) )
26 oaword1 7198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( C  .o  y
)  C_  ( ( C  .o  y )  +o  C ) )
2726sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
2827imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) ) )
2928imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3029adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
31 oaord1 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3231biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
33 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  y
) )
3433eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C )  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3532, 34syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3730, 36jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3825, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3922, 38syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
40 omsuc 7173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  .o  suc  y )  =  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
4140eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4339, 42sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) )
4443exp43 612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4544com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4645adantld 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4746impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) ) ) )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  e.  On  /\  Lim  x ) )
4948ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( C  e.  On  /\  Lim  x
) )
50 limsuc 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
5150biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  suc  A  e.  x )
52 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  .o  y
)  =  ( C  .o  suc  A ) )
5352ssiun2s 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( C  .o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
5451, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y
) )
5554adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
56 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
57 omlim 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( C  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
5856, 57mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  .o  y
) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
6055, 59sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A )  C_  ( C  .o  x ) )
6149, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  x ) )
62 omcl 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  .o  A
)  e.  On )
63 oaord1 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6462, 63sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6564anabss1 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6665biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A
)  +o  C ) )
67 omsuc 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  .o  suc  A )  =  ( ( C  .o  A )  +o  C ) )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  suc  A )  =  ( ( C  .o  A
)  +o  C ) )
6966, 68eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A
) )
7069adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A
) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A ) )
7261, 71sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) )
7372exp53 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( (/) 
e.  C  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) ) )
7473com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) ) )
7574imp4c 591 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) )
7675a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y
) )  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) )
776, 10, 14, 18, 21, 47, 76tfinds3 6677 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
) ) ) )
7877com23 78 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
7978exp4a 606 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8079exp4a 606 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
812, 80mpdd 40 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8281com34 83 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8382com24 87 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8483imp31 432 1  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880  (class class class)co 6282    +o coa 7124    .o comu 7125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-omul 7132
This theorem is referenced by:  omord2  7213  omcan  7215  odi  7225  omass  7226  oen0  7232  oeordi  7233  oeordsuc  7240
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