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Theorem omordi 7217
Description: Ordering property of ordinal multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordi  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem omordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4893 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21ex 434 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
3 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (/) ) )
4 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  (/) ) )
54eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
63, 5imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  e.  x  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  (/) ) ) ) )
7 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
8 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  y
) )
98eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )
107, 9imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )
11 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  e.  x  <->  A  e.  suc  y ) )
12 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  .o  x
)  =  ( C  .o  suc  y ) )
1312eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  suc  y ) ) )
1411, 13imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) )
15 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
16 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  B
) )
1716eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
1815, 17imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
19 noel 3774 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  A  e.  (/)
2019pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
22 elsuci 4934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
23 omcl 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  .o  y
)  e.  On )
24 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  C  e.  On )
2523, 24jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On ) )
26 oaword1 7203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( C  .o  y
)  C_  ( ( C  .o  y )  +o  C ) )
2726sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
2827imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) ) )
2928imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3029adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
31 oaord1 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3231biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
33 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  y
) )
3433eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C )  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3532, 34syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3730, 36jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3825, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3922, 38syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
40 omsuc 7178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  .o  suc  y )  =  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
4140eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4339, 42sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) )
4443exp43 612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4544com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4645adantld 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4746impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) ) ) )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  e.  On  /\  Lim  x ) )
4948ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( C  e.  On  /\  Lim  x
) )
50 limsuc 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
5150biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  suc  A  e.  x )
52 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  .o  y
)  =  ( C  .o  suc  A ) )
5352ssiun2s 4359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( C  .o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
5451, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y
) )
5554adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
56 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
57 omlim 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( C  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
5856, 57mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  .o  y
) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
6055, 59sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A )  C_  ( C  .o  x ) )
6149, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  x ) )
62 omcl 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  .o  A
)  e.  On )
63 oaord1 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6462, 63sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6564anabss1 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6665biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A
)  +o  C ) )
67 omsuc 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  .o  suc  A )  =  ( ( C  .o  A )  +o  C ) )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  suc  A )  =  ( ( C  .o  A
)  +o  C ) )
6966, 68eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A
) )
7069adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A
) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A ) )
7261, 71sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) )
7372exp53 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( (/) 
e.  C  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) ) )
7473com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) ) )
7574imp4c 591 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) )
7675a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y
) )  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) )
776, 10, 14, 18, 21, 47, 76tfinds3 6684 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
) ) ) )
7877com23 78 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
7978exp4a 606 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8079exp4a 606 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
812, 80mpdd 40 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8281com34 83 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8382com24 87 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8483imp31 432 1  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U_ciun 4315   Oncon0 4868   Lim wlim 4869   suc csuc 4870  (class class class)co 6281    +o coa 7129    .o comu 7130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-omul 7137
This theorem is referenced by:  omord2  7218  omcan  7220  odi  7230  omass  7231  oen0  7237  oeordi  7238  oeordsuc  7245
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