Theorem omordi 5245

Description: Ordering property of ordinal multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
omordi	|- (((B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B -> (C .o A) e. (C .o B)))

Proof of Theorem omordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 3683	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ A e. B) -> A e. On)
2	1	ex 402	. . . . 5 |- (B e. On -> (A e. B -> A e. On))
3		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> (A e. x <-> A e. (/)))
4		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (C .o x) = (C .o (/)))
5	4	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> ((C .o A) e. (C .o x) <-> (C .o A) e. (C .o (/))))
6	3, 5	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (x = (/) -> ((A e. x -> (C .o A) e. (C .o x)) <-> (A e. (/) -> (C .o A) e. (C .o (/)))))
7		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (A e. x <-> A e. y))
8		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (C .o x) = (C .o y))
9	8	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> ((C .o A) e. (C .o x) <-> (C .o A) e. (C .o y)))
10	7, 9	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> ((A e. x -> (C .o A) e. (C .o x)) <-> (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y))))
11		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (x = suc y -> (A e. x <-> A e. suc y))
12		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = suc y -> (C .o x) = (C .o suc y))
13	12	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (x = suc y -> ((C .o A) e. (C .o x) <-> (C .o A) e. (C .o suc y)))
14	11, 13	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (x = suc y -> ((A e. x -> (C .o A) e. (C .o x)) <-> (A e. suc y -> (C .o A) e. (C .o suc y))))
15		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> (A e. x <-> A e. B))
16		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (C .o x) = (C .o B))
17	16	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> ((C .o A) e. (C .o x) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
18	15, 17	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> ((A e. x -> (C .o A) e. (C .o x)) <-> (A e. B -> (C .o A) e. (C .o B))))
19		noel 2879	. . . . . . . . . . 11 |- -. A e. (/)
20	19	pm2.21i 93	. . . . . . . . . 10 |- (A e. (/) -> (C .o A) e. (C .o (/)))
21	20	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. (/) -> (C .o A) e. (C .o (/))))
22		oaword1 5234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((C .o y) e. On /\ C e. On) -> (C .o y) C_ ((C .o y) +o C))
23	22	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((C .o y) e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o y) -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
24	23	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((C .o y) e. On /\ C e. On) -> ((A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)) -> (A e. y -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C))))
25	24	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((C .o y) e. On /\ C e. On) /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y))) -> (A e. y -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
26	25	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((C .o y) e. On /\ C e. On) /\ ((/) e. C /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)))) -> (A e. y -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
27		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A = y -> (C .o A) = (C .o y))
28	27	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A = y -> ((C .o A) e. ((C .o y) +o C) <-> (C .o y) e. ((C .o y) +o C)))
29		oaord1 5233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((C .o y) e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C <-> (C .o y) e. ((C .o y) +o C)))
30	29	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((C .o y) e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (C .o y) e. ((C .o y) +o C))
31	28, 30	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((C .o y) e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A = y -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
32	31	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((C .o y) e. On /\ C e. On) /\ ((/) e. C /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)))) -> (A = y -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
33	26, 32	jaod 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C .o y) e. On /\ C e. On) /\ ((/) e. C /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)))) -> ((A e. y \/ A = y) -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
34		omcl 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (C .o y) e. On)
35		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((C e. On /\ y e. On) -> C e. On)
36	34, 35	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((C e. On /\ y e. On) -> ((C .o y) e. On /\ C e. On))
37	33, 36	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. On /\ y e. On) /\ ((/) e. C /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)))) -> ((A e. y \/ A = y) -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
38		elsuci 3731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. suc y -> (A e. y \/ A = y))
39	37, 38	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((C e. On /\ y e. On) /\ ((/) e. C /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)))) -> (A e. suc y -> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
40		omsuc 5210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((C e. On /\ y e. On) -> (C .o suc y) = ((C .o y) +o C))
41	40	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. On /\ y e. On) -> ((C .o A) e. (C .o suc y) <-> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
42	41	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((C e. On /\ y e. On) /\ ((/) e. C /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)))) -> ((C .o A) e. (C .o suc y) <-> (C .o A) e. ((C .o y) +o C)))
43	39, 42	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. On /\ y e. On) /\ ((/) e. C /\ (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)))) -> (A e. suc y -> (C .o A) e. (C .o suc y)))
44	43	exp43 415	. . . . . . . . . . . 12 |- (C e. On -> (y e. On -> ((/) e. C -> ((A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)) -> (A e. suc y -> (C .o A) e. (C .o suc y))))))
45	44	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. On -> (C e. On -> ((/) e. C -> ((A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)) -> (A e. suc y -> (C .o A) e. (C .o suc y))))))
46	45	adantld 426	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> ((A e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> ((A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)) -> (A e. suc y -> (C .o A) e. (C .o suc y))))))
47	46	imp3a 388	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> (((A e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)) -> (A e. suc y -> (C .o A) e. (C .o suc y)))))
48		limsuc 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (Lim x -> (A e. x <-> suc A e. x))
49	48	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((Lim x /\ A e. x) -> suc A e. x)
50		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = suc A -> (C .o y) = (C .o suc A))
51	50	ssiun2s 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (suc A e. x -> (C .o suc A) C_ U_y e. x (C .o y))
52	49, 51	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((Lim x /\ A e. x) -> (C .o suc A) C_ U_y e. x (C .o y))
53	52	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((C e. On /\ Lim x) /\ A e. x) -> (C .o suc A) C_ U_y e. x (C .o y))
54		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
55		omlim 5213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((C e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) -> (C .o x) = U_y e. x (C .o y))
56	54, 55	mpanr1 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((C e. On /\ Lim x) -> (C .o x) = U_y e. x (C .o y))
57	56	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((C e. On /\ Lim x) /\ A e. x) -> (C .o x) = U_y e. x (C .o y))
58	53, 57	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. On /\ Lim x) /\ A e. x) -> (C .o suc A) C_ (C .o x))
59		id 73	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((C e. On /\ Lim x) -> (C e. On /\ Lim x))
60	59	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (Lim x /\ (/) e. C)) -> (C e. On /\ Lim x))
61	58, 60	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((C e. On /\ A e. On) /\ (Lim x /\ (/) e. C)) /\ A e. x) -> (C .o suc A) C_ (C .o x))
62		oaord1 5233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((C .o A) e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C <-> (C .o A) e. ((C .o A) +o C)))
63		omcl 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C .o A) e. On)
64	62, 63	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ C e. On) -> ((/) e. C <-> (C .o A) e. ((C .o A) +o C)))
65	64	anabss1 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((C e. On /\ A e. On) -> ((/) e. C <-> (C .o A) e. ((C .o A) +o C)))
66	65	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (/) e. C) -> (C .o A) e. ((C .o A) +o C))
67		omsuc 5210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C .o suc A) = ((C .o A) +o C))
68	67	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (/) e. C) -> (C .o suc A) = ((C .o A) +o C))
69	66, 68	eleqtrrd 1974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (/) e. C) -> (C .o A) e. (C .o suc A))
70	69	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (Lim x /\ (/) e. C)) -> (C .o A) e. (C .o suc A))
71	70	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((C e. On /\ A e. On) /\ (Lim x /\ (/) e. C)) /\ A e. x) -> (C .o A) e. (C .o suc A))
72	61, 71	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((C e. On /\ A e. On) /\ (Lim x /\ (/) e. C)) /\ A e. x) -> (C .o A) e. (C .o x))
73	72	exp53 419	. . . . . . . . . . . 12 |- (C e. On -> (A e. On -> (Lim x -> ((/) e. C -> (A e. x -> (C .o A) e. (C .o x))))))
74	73	com13 37	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim x -> (A e. On -> (C e. On -> ((/) e. C -> (A e. x -> (C .o A) e. (C .o x))))))
75	74	imp4c 393	. . . . . . . . . 10 |- (Lim x -> (((A e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. x -> (C .o A) e. (C .o x))))
76	75	a1dd 53	. . . . . . . . 9 |- (Lim x -> (((A e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A.y e. x (A e. y -> (C .o A) e. (C .o y)) -> (A e. x -> (C .o A) e. (C .o x)))))
77	6, 10, 14, 18, 21, 47, 76	tfinds3 3948	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (((A e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B -> (C .o A) e. (C .o B))))
78	77	com23 36	. . . . . . 7 |- (B e. On -> (A e. B -> (((A e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (C .o A) e. (C .o B))))
79	78	exp4a 409	. . . . . 6 |- (B e. On -> (A e. B -> ((A e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (C .o A) e. (C .o B)))))
80	79	exp4a 409	. . . . 5 |- (B e. On -> (A e. B -> (A e. On -> (C e. On -> ((/) e. C -> (C .o A) e. (C .o B))))))
81	2, 80	mpdd 57	. . . 4 |- (B e. On -> (A e. B -> (C e. On -> ((/) e. C -> (C .o A) e. (C .o B)))))
82	81	com34 40	. . 3 |- (B e. On -> (A e. B -> ((/) e. C -> (C e. On -> (C .o A) e. (C .o B)))))
83	82	com24 41	. 2 |- (B e. On -> (C e. On -> ((/) e. C -> (A e. B -> (C .o A) e. (C .o B)))))
84	83	imp31 389	1 |- (((B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B -> (C .o A) e. (C .o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U_ciun 3255  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  (class class class)co 4884   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  omord2 5246  omcan 5248  odi 5258  omass 5259  oen0 5261  oeordi 5262  oeordsuc 5269  nnmordi 5303

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain