Theorem omord 4257

Description: Ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
omord	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Proof of Theorem omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omord2 4256	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
2	1	ex 380	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
3	2	pm5.32rd 659	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
4		pm3.26 326	. . 3 |- (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) -> (C .o A) e. (C .o B))
5		opreq1 4026	. . . . . . . . . . 11 |- (C = (/) -> (C .o B) = ((/) .o B))
6	5	eqeq1d 1530	. . . . . . . . . 10 |- (C = (/) -> ((C .o B) = (/) <-> ((/) .o B) = (/)))
7		om0r 4232	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) .o B) = (/))
8	6, 7	syl5cbir 218	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> (C = (/) -> (C .o B) = (/)))
9	8	necon3d 1651	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> ((C .o B) =/= (/) -> C =/= (/)))
10		ne0i 2337	. . . . . . . 8 |- ((C .o A) e. (C .o B) -> (C .o B) =/= (/))
11	9, 10	syl5 21	. . . . . . 7 |- (B e. On -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
12	11	adantr 398	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
13		on0eln0 3081	. . . . . . 7 |- (C e. On -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
14	13	adantl 397	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
15	12, 14	sylibrd 211	. . . . 5 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
16	15	3adant1 809	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
17	16	ancld 305	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
18	4, 17	impbid2 529	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
19	3, 18	bitrd 539	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632  (/)c0 2331  Oncon0 3005  (class class class)co 4021   .o comu 4189

This theorem is referenced by:  omlimcl 4267  oneo 4270  nnmord 4305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-oadd 4193  df-omul 4194

Copyright terms: Public domain