Theorem omord 5247

Description: Ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
omord	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Proof of Theorem omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omord2 5246	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
2	1	ex 402	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
3	2	pm5.32rd 710	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
4		simpl 346	. . 3 |- (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) -> (C .o A) e. (C .o B))
5		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (C = (/) -> (C .o B) = ((/) .o B))
6	5	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . 10 |- (C = (/) -> ((C .o B) = (/) <-> ((/) .o B) = (/)))
7		om0r 5221	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) .o B) = (/))
8	6, 7	syl5cbir 228	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> (C = (/) -> (C .o B) = (/)))
9	8	necon3d 2041	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> ((C .o B) =/= (/) -> C =/= (/)))
10		ne0i 2881	. . . . . . . 8 |- ((C .o A) e. (C .o B) -> (C .o B) =/= (/))
11	9, 10	syl5 20	. . . . . . 7 |- (B e. On -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
12	11	adantr 425	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
13		on0eln0 3718	. . . . . . 7 |- (C e. On -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
14	13	adantl 424	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
15	12, 14	sylibrd 221	. . . . 5 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
16	15	3adant1 894	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
17	16	ancld 322	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
18	4, 17	impbid2 576	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
19	3, 18	bitrd 587	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  Oncon0 3657  (class class class)co 4884   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  omlimcl 5257  oneo 5260  nnmord 5304

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain