MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem omopthlem1 7364
Description: Lemma for omopthi 7366. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopthlem1.1  |-  A  e. 
om
omopthlem1.2  |-  C  e. 
om
Assertion
Ref Expression
omopthlem1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )

Proof of Theorem omopthlem1
StepHypRef Expression
1 omopthlem1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
2 peano2 6727 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  suc  A  e.  om
4 omopthlem1.2 . . . 4  |-  C  e. 
om
5 nnmwordi 7344 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C
) ) )
63, 4, 3, 5mp3an 1360 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C ) )
7 nnmwordri 7345 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C )  C_  ( C  .o  C ) ) )
83, 4, 4, 7mp3an 1360 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C
)  C_  ( C  .o  C ) )
96, 8sstrd 3480 . 2  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( C  .o  C ) )
101nnoni 6713 . . 3  |-  A  e.  On
114nnoni 6713 . . 3  |-  C  e.  On
1210, 11onsucssi 6682 . 2  |-  ( A  e.  C  <->  suc  A  C_  C )
131, 1nnmcli 7324 . . . . . 6  |-  ( A  .o  A )  e. 
om
14 2onn 7349 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
151, 14nnmcli 7324 . . . . . 6  |-  ( A  .o  2o )  e. 
om
1613, 15nnacli 7323 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  om
1716nnoni 6713 . . . 4  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  On
184, 4nnmcli 7324 . . . . 5  |-  ( C  .o  C )  e. 
om
1918nnoni 6713 . . . 4  |-  ( C  .o  C )  e.  On
2017, 19onsucssi 6682 . . 3  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  C_  ( C  .o  C ) )
213, 1nnmcli 7324 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  .o  A )  e.  om
22 nnasuc 7315 . . . . . 6  |-  ( ( ( suc  A  .o  A )  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A )  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
) )
2321, 1, 22mp2an 676 . . . . 5  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
)
24 nnmsuc 7316 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A ) )
253, 1, 24mp2an 676 . . . . 5  |-  ( suc 
A  .o  suc  A
)  =  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)
26 nnaass 7331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  A
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  A )  +o  A
)  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A
) ) )
2713, 1, 1, 26mp3an 1360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  A )  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A ) )
28 nnmcom 7335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A
) )
293, 1, 28mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A )
30 nnmsuc 7316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A ) )
311, 1, 30mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3229, 31eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3332oveq1i 6315 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  A )  +o  A )  +o  A )
34 nnm2 7358 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )
351, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
)
3635oveq2i 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  +o  A ) )
3727, 33, 363eqtr4ri 2469 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  A
)
38 suceq 5507 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc 
A  .o  A )  +o  A )  ->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . 5  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )
4023, 25, 393eqtr4ri 2469 . . . 4  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( suc  A  .o  suc  A )
4140sseq1i 3494 . . 3  |-  ( suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) ) 
C_  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
4220, 41bitri 252 . 2  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
439, 12, 423imtr4i 269 1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   suc csuc 5444  (class class class)co 6305   omcom 6706   2oc2o 7184    +o coa 7187    .o comu 7188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195
This theorem is referenced by:  omopthlem2  7365
  Copyright terms: Public domain W3C validator