MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem omopth 7377
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 12494. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  om )
)  ->  ( (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D
) )  +o  D
)  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  +o  B )  =  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
) )
21, 1oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  +o  B
)  .o  ( A  +o  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) ) )
32oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B ) )
43eqeq1d 2473 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B
) )  +o  B
)  =  ( ( ( C  +o  D
)  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D ) ) )
5 eqeq1 2475 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  =  C  <->  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C ) )
65anbi1d 719 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  =  C  /\  B  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) ) )
74, 6bibi12d 328 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) ) ) )
8 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  =  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) )
98, 8oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) ) )
10 id 22 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  B  =  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )
119, 10oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )
1211eqeq1d 2473 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D ) ) )
13 eqeq1 2475 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( B  =  D  <->  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )
1413anbi2d 718 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) )
1512, 14bibi12d 328 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) ) )
16 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  ( C  +o  D )  =  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D
) )
1716, 16oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( C  +o  D
)  .o  ( C  +o  D ) )  =  ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) ) )
1817oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D ) )
1918eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D ) ) )
20 eqeq2 2482 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  <->  if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) ) ) )
2120anbi1d 719 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) )
2219, 21bibi12d 328 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) ) )
23 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  =  ( if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) ) ) )
2423, 23oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D
)  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  =  ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
25 id 22 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  D  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )
2624, 25oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )
2726eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
28 eqeq2 2482 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  ( if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D  <->  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) ) ) )
2928anbi2d 718 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
3027, 29bibi12d 328 . 2  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) ) )
31 peano1 6731 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3231elimel 3934 . . 3  |-  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  e. 
om
3331elimel 3934 . . 3  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  e. 
om
3431elimel 3934 . . 3  |-  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  e. 
om
3531elimel 3934 . . 3  |-  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  e. 
om
3632, 33, 34, 35omopthi 7376 . 2  |-  ( ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 3926 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  om )
)  ->  ( (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D
) )  +o  D
)  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   (/)c0 3722   ifcif 3872  (class class class)co 6308   omcom 6711    +o coa 7197    .o comu 7198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator