Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul2 Structured version   Unicode version

Theorem omndmul2 26315
 Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0
omndmul.1
omndmul2.2 .g
omndmul2.3
Assertion
Ref Expression
omndmul2 oMnd

Proof of Theorem omndmul2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 967 . . 3 oMnd oMnd
2 df-3an 967 . . . . 5 oMnd oMnd
3 3anass 969 . . . . 5 oMnd oMnd
42, 3bitr3i 251 . . . 4 oMnd oMnd
54anbi1i 695 . . 3 oMnd oMnd
61, 5bitr4i 252 . 2 oMnd oMnd
7 simplr 754 . . 3 oMnd
8 oveq1 6202 . . . . 5
98breq2d 4407 . . . 4
10 oveq1 6202 . . . . 5
1110breq2d 4407 . . . 4
12 oveq1 6202 . . . . 5
1312breq2d 4407 . . . 4
14 oveq1 6202 . . . . 5
1514breq2d 4407 . . . 4
16 omndtos 26308 . . . . . . . 8 oMnd Toset
17 tospos 26259 . . . . . . . 8 Toset
1816, 17syl 16 . . . . . . 7 oMnd
19 omndmnd 26307 . . . . . . . 8 oMnd
20 omndmul.0 . . . . . . . . 9
21 omndmul2.3 . . . . . . . . 9
2220, 21mndidcl 15553 . . . . . . . 8
2319, 22syl 16 . . . . . . 7 oMnd
24 omndmul.1 . . . . . . . 8
2520, 24posref 15235 . . . . . . 7
2618, 23, 25syl2anc 661 . . . . . 6 oMnd
2726ad3antrrr 729 . . . . 5 oMnd
28 omndmul2.2 . . . . . . 7 .g
2920, 21, 28mulg0 15746 . . . . . 6
3029ad3antlr 730 . . . . 5 oMnd
3127, 30breqtrrd 4421 . . . 4 oMnd
3218ad5antr 733 . . . . 5 oMnd
3319ad5antr 733 . . . . . . 7 oMnd
3433, 22syl 16 . . . . . 6 oMnd
35 simplr 754 . . . . . . 7 oMnd
36 simp-5r 768 . . . . . . 7 oMnd
3720, 28mulgnn0cl 15757 . . . . . . 7
3833, 35, 36, 37syl3anc 1219 . . . . . 6 oMnd
39 simpr32 1079 . . . . . . . . . 10 oMnd
40 1nn0 10701 . . . . . . . . . . 11
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 oMnd
4239, 41nn0addcld 10746 . . . . . . . . 9 oMnd
43423anassrs 1210 . . . . . . . 8 oMnd
44433anassrs 1210 . . . . . . 7 oMnd
4520, 28mulgnn0cl 15757 . . . . . . 7
4633, 44, 36, 45syl3anc 1219 . . . . . 6 oMnd
4734, 38, 463jca 1168 . . . . 5 oMnd
48 simpr 461 . . . . . 6 oMnd
49 simp-4l 765 . . . . . . . . 9 oMnd oMnd
5019ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 oMnd
5150, 22syl 16 . . . . . . . . 9 oMnd
52 simp-4r 766 . . . . . . . . 9 oMnd
53 simpr 461 . . . . . . . . . 10 oMnd
5450, 53, 52, 37syl3anc 1219 . . . . . . . . 9 oMnd
55 simplr 754 . . . . . . . . 9 oMnd
56 eqid 2452 . . . . . . . . . 10
5720, 24, 56omndadd 26309 . . . . . . . . 9 oMnd
5849, 51, 52, 54, 55, 57syl131anc 1232 . . . . . . . 8 oMnd
5920, 56, 21mndlid 15555 . . . . . . . . 9
6050, 54, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8 oMnd
6140a1i 11 . . . . . . . . . 10 oMnd
6220, 28, 56mulgnn0dir 15764 . . . . . . . . . 10
6350, 61, 53, 52, 62syl13anc 1221 . . . . . . . . 9 oMnd
64 ax-1cn 9446 . . . . . . . . . . . . 13
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 oMnd
66 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . 13 oMnd
6766nn0cnd 10744 . . . . . . . . . . . 12 oMnd
6865, 67addcomd 9677 . . . . . . . . . . 11 oMnd
69683anassrs 1210 . . . . . . . . . 10 oMnd
7069oveq1d 6210 . . . . . . . . 9 oMnd
7120, 28mulg1 15748 . . . . . . . . . . 11
7252, 71syl 16 . . . . . . . . . 10 oMnd
7372oveq1d 6210 . . . . . . . . 9 oMnd
7463, 70, 733eqtr3rd 2502 . . . . . . . 8 oMnd
7558, 60, 743brtr3d 4424 . . . . . . 7 oMnd
7675adantr 465 . . . . . 6 oMnd
7748, 76jca 532 . . . . 5 oMnd
7820, 24postr 15237 . . . . . 6
7978imp 429 . . . . 5
8032, 47, 77, 79syl21anc 1218 . . . 4 oMnd
819, 11, 13, 15, 31, 80nn0indd 26228 . . 3 oMnd
827, 81mpdan 668 . 2 oMnd
836, 82sylbi 195 1 oMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   class class class wbr 4395  cfv 5521  (class class class)co 6195  cc 9386  cc0 9388  c1 9389   caddc 9391  cn0 10685  cbs 14287   cplusg 14352  cple 14359  c0g 14492  cpo 15224  Tosetctos 15317  cmnd 15523  .gcmg 15528  oMndcomnd 26300 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-seq 11919  df-0g 14494  df-poset 15230  df-toset 15318  df-mnd 15529  df-mulg 15662  df-omnd 26302 This theorem is referenced by:  omndmul3  26316
 Copyright terms: Public domain W3C validator