Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndaddr Structured version   Unicode version

Theorem omndaddr 27345
Description: In a right ordered monoid, the ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0  |-  B  =  ( Base `  M
)
omndadd.1  |-  .<_  =  ( le `  M )
omndadd.2  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
omndaddr  |-  ( ( (oppg
`  M )  e. oMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( Z  .+  X )  .<_  ( Z 
.+  Y ) )

Proof of Theorem omndaddr
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4  |-  (oppg `  M
)  =  (oppg `  M
)
2 omndadd.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
31, 2oppgbas 16174 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppg `  M
) )
4 omndadd.1 . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  M )
51, 4oppgle 27289 . . 3  |-  .<_  =  ( le `  (oppg `  M
) )
6 eqid 2460 . . 3  |-  ( +g  `  (oppg
`  M ) )  =  ( +g  `  (oppg `  M
) )
73, 5, 6omndadd 27344 . 2  |-  ( ( (oppg
`  M )  e. oMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X
( +g  `  (oppg `  M
) ) Z ) 
.<_  ( Y ( +g  `  (oppg
`  M ) ) Z ) )
8 omndadd.2 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
98, 1, 6oppgplus 16172 . 2  |-  ( X ( +g  `  (oppg `  M
) ) Z )  =  ( Z  .+  X )
108, 1, 6oppgplus 16172 . 2  |-  ( Y ( +g  `  (oppg `  M
) ) Z )  =  ( Z  .+  Y )
117, 9, 103brtr3g 4471 1  |-  ( ( (oppg
`  M )  e. oMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( Z  .+  X )  .<_  ( Z 
.+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   lecple 14551  oppgcoppg 16168  oMndcomnd 27335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-ple 14564  df-oppg 16169  df-omnd 27337
This theorem is referenced by:  omndadd2rd  27347
  Copyright terms: Public domain W3C validator