Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndaddr Structured version   Unicode version

Theorem omndaddr 26316
Description: In a right ordered monoid, the ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0  |-  B  =  ( Base `  M
)
omndadd.1  |-  .<_  =  ( le `  M )
omndadd.2  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
omndaddr  |-  ( ( (oppg
`  M )  e. oMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( Z  .+  X )  .<_  ( Z 
.+  Y ) )

Proof of Theorem omndaddr
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  (oppg `  M
)  =  (oppg `  M
)
2 omndadd.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
31, 2oppgbas 15986 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppg `  M
) )
4 omndadd.1 . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  M )
51, 4oppgle 26260 . . 3  |-  .<_  =  ( le `  (oppg `  M
) )
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  (oppg
`  M ) )  =  ( +g  `  (oppg `  M
) )
73, 5, 6omndadd 26315 . 2  |-  ( ( (oppg
`  M )  e. oMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X
( +g  `  (oppg `  M
) ) Z ) 
.<_  ( Y ( +g  `  (oppg
`  M ) ) Z ) )
8 omndadd.2 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
98, 1, 6oppgplus 15984 . 2  |-  ( X ( +g  `  (oppg `  M
) ) Z )  =  ( Z  .+  X )
108, 1, 6oppgplus 15984 . 2  |-  ( Y ( +g  `  (oppg `  M
) ) Z )  =  ( Z  .+  Y )
117, 9, 103brtr3g 4432 1  |-  ( ( (oppg
`  M )  e. oMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( Z  .+  X )  .<_  ( Z 
.+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   lecple 14365  oppgcoppg 15980  oMndcomnd 26306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-plusg 14371  df-ple 14378  df-oppg 15981  df-omnd 26308
This theorem is referenced by:  omndadd2rd  26318
  Copyright terms: Public domain W3C validator