Theorem omlsilem 10877

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	|- G e. SH
omlsilem.2	|- H e. SH
omlsilem.3	|- G C_ H
omlsilem.4	|- (H i^i (_|_` G)) = 0H
omlsilem.5	|- A e. H
omlsilem.6	|- B e. G
omlsilem.7	|- C e. (_|_` G)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	|- (A = (B +h C) -> A e. G)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 |- H e. SH
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 |- A e. H
3	1, 2	shelii 10716	. . . . . . . . 9 |- A e. ~H
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 |- G e. SH
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 |- B e. G
6	4, 5	shelii 10716	. . . . . . . . 9 |- B e. ~H
7		shocss 10792	. . . . . . . . . . 11 |- (G e. SH -> (_|_` G) C_ ~H)
8	4, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` G) C_ ~H
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 |- C e. (_|_` G)
10	8, 9	sselii 2618	. . . . . . . . 9 |- C e. ~H
11	3, 6, 10	hvsubaddi 10565	. . . . . . . 8 |- ((A -h B) = C <-> (B +h C) = A)
12		eqcom 1886	. . . . . . . 8 |- ((B +h C) = A <-> A = (B +h C))
13	11, 12	bitri 190	. . . . . . 7 |- ((A -h B) = C <-> A = (B +h C))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 |- G C_ H
15	14, 5	sselii 2618	. . . . . . . . 9 |- B e. H
16		shsubclOLD 10723	. . . . . . . . . 10 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H))
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H)
18	2, 15, 17	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (A -h B) e. H
19		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- ((A -h B) = C -> ((A -h B) e. H <-> C e. H))
20	18, 19	mpbii 210	. . . . . . 7 |- ((A -h B) = C -> C e. H)
21	13, 20	sylbir 218	. . . . . 6 |- (A = (B +h C) -> C e. H)
22		omlsilem.4	. . . . . . . . . 10 |- (H i^i (_|_` G)) = 0H
23	22	eleq2i 1961	. . . . . . . . 9 |- (C e. (H i^i (_|_` G)) <-> C e. 0H)
24		elin 2786	. . . . . . . . 9 |- (C e. (H i^i (_|_` G)) <-> (C e. H /\ C e. (_|_` G)))
25		elch0 10759	. . . . . . . . 9 |- (C e. 0H <-> C = 0h)
26	23, 24, 25	3bitr3i 198	. . . . . . . 8 |- ((C e. H /\ C e. (_|_` G)) <-> C = 0h)
27	26	biimpi 168	. . . . . . 7 |- ((C e. H /\ C e. (_|_` G)) -> C = 0h)
28	9, 27	mpan2 760	. . . . . 6 |- (C e. H -> C = 0h)
29	21, 28	syl 12	. . . . 5 |- (A = (B +h C) -> C = 0h)
30	29	opreq2d 4898	. . . 4 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) = (B +h 0h))
31		ax-hvaddid 10506	. . . . 5 |- (B e. ~H -> (B +h 0h) = B)
32	6, 31	ax-mp 7	. . . 4 |- (B +h 0h) = B
33	30, 32	syl6eq 1944	. . 3 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) = B)
34	33, 5	syl6eqel 1979	. 2 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) e. G)
35		eleq1 1957	. 2 |- (A = (B +h C) -> (A e. G <-> (B +h C) e. G))
36	34, 35	mpbird 213	1 |- (A = (B +h C) -> A e. G)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423   -h cmv 10424  SHcsh 10429  _|_cort 10431  0Hc0h 10436

This theorem is referenced by:  omlsii 10878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his2 10583  ax-his3 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-oc 10757  df-ch0 10758

Copyright terms: Public domain