HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsii Structured version   Unicode version

Theorem omlsii 26144
Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsi.1  |-  A  e. 
CH
omlsi.2  |-  B  e.  SH
omlsi.3  |-  A  C_  B
omlsi.4  |-  ( B  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H
Assertion
Ref Expression
omlsii  |-  A  =  B

Proof of Theorem omlsii
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omlsi.3 . 2  |-  A  C_  B
2 omlsi.1 . . . . 5  |-  A  e. 
CH
3 omlsi.2 . . . . . 6  |-  B  e.  SH
43sheli 25954 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
52, 4pjhthlem2 26133 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( y  +h  z ) )
6 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z ) ) )
7 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
x  e.  A  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) )
86, 7imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
)  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
9 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( y  +h  z
)  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z ) )
109eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  <-> 
if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z
) ) )
1110imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
12 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) ) )
1312eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  z )  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) ) ) )
1413imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  (
( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z
)  ->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
152chshii 25968 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
16 omlsi.4 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H
17 sh0 25956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  B
1918elimel 4008 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  B
20 ch0 25969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CH  ->  0h  e.  A )
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  A
2221elimel 4008 . . . . . . . . 9  |-  if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  e.  A
23 shocsh 26025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  SH  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2415, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  A )  e.  SH
25 sh0 25956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  0h  e.  ( _|_ `  A
) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  ( _|_ `  A )
2726elimel 4008 . . . . . . . . 9  |-  if ( z  e.  ( _|_ `  A ) ,  z ,  0h )  e.  ( _|_ `  A
)
2815, 3, 1, 16, 19, 22, 27omlsilem 26143 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )
298, 11, 14, 28dedth3h 3999 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A  /\  z  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
30293expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( z  e.  ( _|_ `  A )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  A ) ) )
3130rexlimdv 2957 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
3231rexlimdva 2959 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A ) )
335, 32mpd 15 . . 3  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  A )
3433ssriv 3513 . 2  |-  B  C_  A
351, 34eqssi 3525 1  |-  A  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    +h cva 25660   0hc0v 25664   SHcsh 25668   CHcch 25669   _|_cort 25670   0Hc0h 25675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825  ax-hcompl 25942
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lm 19598  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-subgo 25127  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-ssp 25458  df-ph 25551  df-cbn 25602  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hlim 25712  df-hcau 25713  df-sh 25947  df-ch 25962  df-oc 25993  df-ch0 25994
This theorem is referenced by:  omlsi  26145  ococi  26146  qlaxr3i  26377  hatomistici  27104
  Copyright terms: Public domain W3C validator