HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsii Structured version   Unicode version

Theorem omlsii 24985
Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsi.1  |-  A  e. 
CH
omlsi.2  |-  B  e.  SH
omlsi.3  |-  A  C_  B
omlsi.4  |-  ( B  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H
Assertion
Ref Expression
omlsii  |-  A  =  B

Proof of Theorem omlsii
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omlsi.3 . 2  |-  A  C_  B
2 omlsi.1 . . . . 5  |-  A  e. 
CH
3 omlsi.2 . . . . . 6  |-  B  e.  SH
43sheli 24795 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
52, 4pjhthlem2 24974 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( y  +h  z ) )
6 eqeq1 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z ) ) )
7 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
x  e.  A  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) )
86, 7imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
)  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
9 oveq1 6210 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( y  +h  z
)  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z ) )
109eqeq2d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  <-> 
if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z
) ) )
1110imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
12 oveq2 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) ) )
1312eqeq2d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  z )  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) ) ) )
1413imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  (
( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z
)  ->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
152chshii 24809 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
16 omlsi.4 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H
17 sh0 24797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  B
1918elimel 3963 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  B
20 ch0 24810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CH  ->  0h  e.  A )
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  A
2221elimel 3963 . . . . . . . . 9  |-  if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  e.  A
23 shocsh 24866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  SH  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2415, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  A )  e.  SH
25 sh0 24797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  0h  e.  ( _|_ `  A
) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  ( _|_ `  A )
2726elimel 3963 . . . . . . . . 9  |-  if ( z  e.  ( _|_ `  A ) ,  z ,  0h )  e.  ( _|_ `  A
)
2815, 3, 1, 16, 19, 22, 27omlsilem 24984 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )
298, 11, 14, 28dedth3h 3954 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A  /\  z  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
30293expia 1190 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( z  e.  ( _|_ `  A )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  A ) ) )
3130rexlimdv 2946 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
3231rexlimdva 2947 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A ) )
335, 32mpd 15 . . 3  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  A )
3433ssriv 3471 . 2  |-  B  C_  A
351, 34eqssi 3483 1  |-  A  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800    i^i cin 3438    C_ wss 3439   ifcif 3902   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    +h cva 24501   0hc0v 24505   SHcsh 24509   CHcch 24510   _|_cort 24511   0Hc0h 24516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cc 8719  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477  ax-hilex 24580  ax-hfvadd 24581  ax-hvcom 24582  ax-hvass 24583  ax-hv0cl 24584  ax-hvaddid 24585  ax-hfvmul 24586  ax-hvmulid 24587  ax-hvmulass 24588  ax-hvdistr1 24589  ax-hvdistr2 24590  ax-hvmul0 24591  ax-hfi 24660  ax-his1 24663  ax-his2 24664  ax-his3 24665  ax-his4 24666  ax-hcompl 24783
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-acn 8227  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fl 11763  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-rest 14484  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-fbas 17949  df-fg 17950  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-nei 18844  df-lm 18975  df-haus 19061  df-fil 19561  df-fm 19653  df-flim 19654  df-flf 19655  df-cfil 20908  df-cau 20909  df-cmet 20910  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-gdiv 23860  df-ablo 23948  df-subgo 23968  df-vc 24103  df-nv 24149  df-va 24152  df-ba 24153  df-sm 24154  df-0v 24155  df-vs 24156  df-nmcv 24157  df-ims 24158  df-ssp 24299  df-ph 24392  df-cbn 24443  df-hnorm 24549  df-hba 24550  df-hvsub 24552  df-hlim 24553  df-hcau 24554  df-sh 24788  df-ch 24803  df-oc 24834  df-ch0 24835
This theorem is referenced by:  omlsi  24986  ococi  24987  qlaxr3i  25218  hatomistici  25945
  Copyright terms: Public domain W3C validator