HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsii Structured version   Unicode version

Theorem omlsii 24757
Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsi.1  |-  A  e. 
CH
omlsi.2  |-  B  e.  SH
omlsi.3  |-  A  C_  B
omlsi.4  |-  ( B  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H
Assertion
Ref Expression
omlsii  |-  A  =  B

Proof of Theorem omlsii
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omlsi.3 . 2  |-  A  C_  B
2 omlsi.1 . . . . 5  |-  A  e. 
CH
3 omlsi.2 . . . . . 6  |-  B  e.  SH
43sheli 24567 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
52, 4pjhthlem2 24746 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( y  +h  z ) )
6 eqeq1 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z ) ) )
7 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
x  e.  A  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) )
86, 7imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  ->  (
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
)  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
9 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( y  +h  z
)  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z ) )
109eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  <-> 
if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z
) ) )
1110imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  -> 
( ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( y  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  z )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
12 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) ) )
1312eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  z )  <->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) ) ) )
1413imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h )  ->  (
( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A ,  y ,  0h )  +h  z
)  ->  if (
x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )  <->  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A ) ) )
152chshii 24581 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
16 omlsi.4 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H
17 sh0 24569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  B
1918elimel 3847 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  B
20 ch0 24582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CH  ->  0h  e.  A )
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  A
2221elimel 3847 . . . . . . . . 9  |-  if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  e.  A
23 shocsh 24638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  SH  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2415, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  A )  e.  SH
25 sh0 24569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  0h  e.  ( _|_ `  A
) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0h  e.  ( _|_ `  A )
2726elimel 3847 . . . . . . . . 9  |-  if ( z  e.  ( _|_ `  A ) ,  z ,  0h )  e.  ( _|_ `  A
)
2815, 3, 1, 16, 19, 22, 27omlsilem 24756 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  =  ( if ( y  e.  A , 
y ,  0h )  +h  if ( z  e.  ( _|_ `  A
) ,  z ,  0h ) )  ->  if ( x  e.  B ,  x ,  0h )  e.  A )
298, 11, 14, 28dedth3h 3838 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A  /\  z  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
30293expia 1189 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( z  e.  ( _|_ `  A )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  A ) ) )
3130rexlimdv 2835 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
3231rexlimdva 2836 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A ) )
335, 32mpd 15 . . 3  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  A )
3433ssriv 3355 . 2  |-  B  C_  A
351, 34eqssi 3367 1  |-  A  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ifcif 3786   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    +h cva 24273   0hc0v 24277   SHcsh 24281   CHcch 24282   _|_cort 24283   0Hc0h 24288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438  ax-hcompl 24555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lm 18808  df-haus 18894  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-cfil 20741  df-cau 20742  df-cmet 20743  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-ssp 24071  df-ph 24164  df-cbn 24215  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-hcau 24326  df-sh 24560  df-ch 24575  df-oc 24606  df-ch0 24607
This theorem is referenced by:  omlsi  24758  ococi  24759  qlaxr3i  24990  hatomistici  25717
  Copyright terms: Public domain W3C validator