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Theorem omllaw4 28125
Description: Orthomodular law equivalent. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
omllaw4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
omllaw4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
omllaw4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
omllaw4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem omllaw4
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
2 omlop 28120 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
323ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
4 simp3 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
5 omllaw4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 omllaw4.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opoccl 28073 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
83, 4, 7syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
9 simp2 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
105, 6opoccl 28073 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
113, 9, 10syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
12 omllaw4.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 eqid 2253 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
14 omllaw4.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
155, 12, 13, 14, 6omllaw 28122 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
161, 8, 11, 15syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
)  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
175, 12, 6oplecon3b 28079 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
182, 17syl3an1 1220 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
19 omllat 28121 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
20193ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
215, 14latmcl 14001 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y )  e.  B
)
2220, 11, 4, 21syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )
235, 6opoccl 28073 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  e.  B
)
243, 22, 23syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B
)
255, 14latmcl 14001 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
)  e.  B )
2620, 24, 4, 25syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B )
275, 6opcon3b 28075 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
283, 26, 9, 27syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
295, 13latjcom 14009 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
) )
3020, 22, 8, 29syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ( join `  K
) (  ._|_  `  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ) )
31 omlol 28119 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
32313ad2ant1 981 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
335, 13, 14, 6oldmm2 28097 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) (
join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
3432, 22, 4, 33syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
355, 6opococ 28074 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
363, 4, 35syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
3736oveq2d 5726 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) )
3837oveq2d 5726 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) ) )
3930, 34, 383eqtr4d 2295 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
4039eqeq2d 2264 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) )  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
4128, 40bitrd 246 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
4216, 18, 413imtr4d 261 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   lecple 13089   occoc 13090   joincjn 13922   meetcmee 13923   Latclat 13995   OPcops 28051   OLcol 28053   OMLcoml 28054
This theorem is referenced by:  poml4N  28831  dihoml4c  30255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-lat 13996  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058
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