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Theorem omllaw4 32613
Description: Orthomodular law equivalent. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
omllaw4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
omllaw4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
omllaw4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
omllaw4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem omllaw4
StepHypRef Expression
1 simp1 983 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
2 omlop 32608 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
323ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
4 simp3 985 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
5 omllaw4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 omllaw4.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opoccl 32561 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
83, 4, 7syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
9 simp2 984 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
105, 6opoccl 32561 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
113, 9, 10syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
12 omllaw4.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 eqid 2441 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
14 omllaw4.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
155, 12, 13, 14, 6omllaw 32610 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
161, 8, 11, 15syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
)  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
175, 12, 6oplecon3b 32567 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
182, 17syl3an1 1246 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
19 omllat 32609 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
20193ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
215, 14latmcl 15218 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y )  e.  B
)
2220, 11, 4, 21syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )
235, 6opoccl 32561 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  e.  B
)
243, 22, 23syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B
)
255, 14latmcl 15218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
)  e.  B )
2620, 24, 4, 25syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B )
275, 6opcon3b 32563 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
283, 26, 9, 27syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
295, 13latjcom 15225 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
) )
3020, 22, 8, 29syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ( join `  K
) (  ._|_  `  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ) )
31 omlol 32607 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
32313ad2ant1 1004 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
335, 13, 14, 6oldmm2 32585 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) (
join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
3432, 22, 4, 33syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
355, 6opococ 32562 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
363, 4, 35syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
3736oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) )
3837oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) ) )
3930, 34, 383eqtr4d 2483 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
4039eqeq2d 2452 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) )  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
4128, 40bitrd 253 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
4216, 18, 413imtr4d 268 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   lecple 14241   occoc 14242   joincjn 15110   meetcmee 15111   Latclat 15211   OPcops 32539   OLcol 32541   OMLcoml 32542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-poset 15112  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-lat 15212  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546
This theorem is referenced by:  poml4N  33319  dihoml4c  34743
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