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Theorem omllaw4 32891
Description: Orthomodular law equivalent. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
omllaw4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
omllaw4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
omllaw4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
omllaw4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem omllaw4
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
2 omlop 32886 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
323ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
4 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
5 omllaw4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 omllaw4.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opoccl 32839 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
83, 4, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
9 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
105, 6opoccl 32839 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
12 omllaw4.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
14 omllaw4.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
155, 12, 13, 14, 6omllaw 32888 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
161, 8, 11, 15syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
)  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
175, 12, 6oplecon3b 32845 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
182, 17syl3an1 1251 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
19 omllat 32887 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
20193ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
215, 14latmcl 15222 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y )  e.  B
)
2220, 11, 4, 21syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )
235, 6opoccl 32839 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  e.  B
)
243, 22, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B
)
255, 14latmcl 15222 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
)  e.  B )
2620, 24, 4, 25syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B )
275, 6opcon3b 32841 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
283, 26, 9, 27syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
295, 13latjcom 15229 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
) )
3020, 22, 8, 29syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ( join `  K
) (  ._|_  `  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ) )
31 omlol 32885 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
32313ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
335, 13, 14, 6oldmm2 32863 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) (
join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
3432, 22, 4, 33syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
355, 6opococ 32840 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
363, 4, 35syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
3736oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) )
3837oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) ) )
3930, 34, 383eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
4039eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) )  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
4128, 40bitrd 253 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
4216, 18, 413imtr4d 268 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   occoc 14246   joincjn 15114   meetcmee 15115   Latclat 15215   OPcops 32817   OLcol 32819   OMLcoml 32820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-poset 15116  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-lat 15216  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824
This theorem is referenced by:  poml4N  33597  dihoml4c  35021
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