Theorem omllaw3 16966

Description: Orthomodular law equivalent. Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. (Th. pjoml 10902 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
omllaw3.b	|- B = (base` K)
omllaw3.l	|- L = (le` K)
omllaw3.m	|- M = (meet` K)
omllaw3.o	|- O = (oc` K)
omllaw3.z	|- Z = (0.` K)

Assertion

Ref	Expression
omllaw3	|- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XLY /\ (YM(O` X)) = Z) -> X = Y))

Proof of Theorem omllaw3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . 6 |- ((YM(O` X)) = Z -> (X(join` K)(YM(O` X))) = (X(join` K)Z))
2	1	adantl 424	. . . . 5 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (YM(O` X)) = Z) -> (X(join` K)(YM(O` X))) = (X(join` K)Z))
3		omllaw3.b	. . . . . . . . 9 |- B = (base` K)
4		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (join` K) = (join` K)
5		omllaw3.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (0.` K)
6	3, 4, 5	olj01 16944	. . . . . . . 8 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> (X(join` K)Z) = X)
7		omlol 16961	. . . . . . . 8 |- (K e. OML -> K e. OL)
8	6, 7	sylan 497	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ X e. B) -> (X(join` K)Z) = X)
9	8	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(join` K)Z) = X)
10	9	adantr 425	. . . . 5 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (YM(O` X)) = Z) -> (X(join` K)Z) = X)
11	2, 10	eqtr2d 1926	. . . 4 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (YM(O` X)) = Z) -> X = (X(join` K)(YM(O` X))))
12	11	adantrl 430	. . 3 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (XLY /\ (YM(O` X)) = Z)) -> X = (X(join` K)(YM(O` X))))
13		omllaw3.l	. . . . . 6 |- L = (le` K)
14		omllaw3.m	. . . . . 6 |- M = (meet` K)
15		omllaw3.o	. . . . . 6 |- O = (oc` K)
16	3, 13, 4, 14, 15	omllaw 16964	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XLY -> Y = (X(join` K)(YM(O` X)))))
17	16	imp 377	. . . 4 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ XLY) -> Y = (X(join` K)(YM(O` X))))
18	17	adantrr 431	. . 3 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (XLY /\ (YM(O` X)) = Z)) -> Y = (X(join` K)(YM(O` X))))
19	12, 18	eqtr4d 1928	. 2 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (XLY /\ (YM(O` X)) = Z)) -> X = Y)
20	19	ex 402	1 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XLY /\ (YM(O` X)) = Z) -> X = Y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  joincjn 16766  meetcmee 16767  0.cp0 16832  occoc 16836  OLcol 16839  OMLcoml 16840

This theorem is referenced by:  omlfh1 16978  hlatmstc 17047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-p0 16841  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908

Copyright terms: Public domain