Theorem omlimcl 5257

Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64.

Assertion

Ref	Expression
omlimcl	|- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> Lim (A .o B))

Proof of Theorem omlimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim3 3930	. 2 |- (Lim (A .o B) <-> (Ord (A .o B) /\ -. ((A .o B) = (/) \/ E.y e. On (A .o B) = suc y)))
2		omcl 5216	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)
3		eloni 3667	. . . . 5 |- ((A .o B) e. On -> Ord (A .o B))
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> Ord (A .o B))
5		limelon 3727	. . . 4 |- ((B e. C /\ Lim B) -> B e. On)
6	4, 5	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> Ord (A .o B))
7	6	adantr 425	. 2 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> Ord (A .o B))
8		ioran 331	. . 3 |- (-. ((A .o B) = (/) \/ E.y e. On (A .o B) = suc y) <-> (-. (A .o B) = (/) /\ -. E.y e. On (A .o B) = suc y))
9		n0i 2880	. . . . . . . 8 |- ((/) e. A -> -. A = (/))
10		0ellim 3726	. . . . . . . . 9 |- (Lim B -> (/) e. B)
11		n0i 2880	. . . . . . . . 9 |- ((/) e. B -> -. B = (/))
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . 8 |- (Lim B -> -. B = (/))
13	9, 12	anim12i 360	. . . . . . 7 |- (((/) e. A /\ Lim B) -> (-. A = (/) /\ -. B = (/)))
14	13	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((Lim B /\ (/) e. A) -> (-. A = (/) /\ -. B = (/)))
15	14	adantll 428	. . . . 5 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ (/) e. A) -> (-. A = (/) /\ -. B = (/)))
16	15	adantll 428	. . . 4 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> (-. A = (/) /\ -. B = (/)))
17		om00 5254	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) = (/) <-> (A = (/) \/ B = (/))))
18	17	notbid 673	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. (A .o B) = (/) <-> -. (A = (/) \/ B = (/))))
19		ioran 331	. . . . . . 7 |- (-. (A = (/) \/ B = (/)) <-> (-. A = (/) /\ -. B = (/)))
20	18, 19	syl6bb 595	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. (A .o B) = (/) <-> (-. A = (/) /\ -. B = (/))))
21	20, 5	sylan2 500	. . . . 5 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (-. (A .o B) = (/) <-> (-. A = (/) /\ -. B = (/))))
22	21	adantr 425	. . . 4 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> (-. (A .o B) = (/) <-> (-. A = (/) /\ -. B = (/))))
23	16, 22	mpbird 213	. . 3 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> -. (A .o B) = (/))
24		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A .o B) = suc y -> ((A .o B) = U_x e. B (A .o x) <-> suc y = U_x e. B (A .o x)))
25	24	biimpac 462	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .o B) = U_x e. B (A .o x) /\ (A .o B) = suc y) -> suc y = U_x e. B (A .o x))
26		omlim 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (A .o B) = U_x e. B (A .o x))
27	25, 26	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (A .o B) = suc y) -> suc y = U_x e. B (A .o x))
28		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
29	28	sucid 3744	. . . . . . . . . . 11 |- y e. suc y
30	27, 29	syl5eleq 1977	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (A .o B) = suc y) -> y e. U_x e. B (A .o x))
31		eliun 3259	. . . . . . . . . 10 |- (y e. U_x e. B (A .o x) <-> E.x e. B y e. (A .o x))
32	30, 31	sylib 215	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (A .o B) = suc y) -> E.x e. B y e. (A .o x))
33	32	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ (A .o B) = suc y) -> E.x e. B y e. (A .o x))
34		onelon 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((B e. On /\ x e. B) -> x e. On)
35	34, 5	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> x e. On)
36		onnbtwn 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. On -> -. (x e. B /\ B e. suc x))
37		imnan 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x e. B -> -. B e. suc x) <-> -. (x e. B /\ B e. suc x))
38	36, 37	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. On -> (x e. B -> -. B e. suc x))
39	38	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. B -> (x e. On -> -. B e. suc x))
40	39	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> (x e. On -> -. B e. suc x))
41	35, 40	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> -. B e. suc x)
42	41	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ x e. B) -> -. B e. suc x)
43	42	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ x e. B) -> -. B e. suc x)
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ x e. B) /\ y e. (A .o x)) -> -. B e. suc x)
45		omcl 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (A .o x) e. On)
46		eloni 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A .o x) e. On -> Ord (A .o x))
47		ordsucelsuc 3902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (Ord (A .o x) -> (y e. (A .o x) <-> suc y e. suc (A .o x)))
48	46, 47	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A .o x) e. On -> (y e. (A .o x) <-> suc y e. suc (A .o x)))
49		oa1suc 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A .o x) e. On -> ((A .o x) +o 1o) = suc (A .o x))
50	49	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A .o x) e. On -> (suc y e. ((A .o x) +o 1o) <-> suc y e. suc (A .o x)))
51	48, 50	bitr4d 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A .o x) e. On -> (y e. (A .o x) <-> suc y e. ((A .o x) +o 1o)))
52	45, 51	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (y e. (A .o x) <-> suc y e. ((A .o x) +o 1o)))
53	52	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> (y e. (A .o x) <-> suc y e. ((A .o x) +o 1o)))
54		eloni 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A e. On -> Ord A)
55		ordgt0ge1 5189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> 1o C_ A))
56	54, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> 1o C_ A))
57	56	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. On /\ x e. On) -> ((/) e. A <-> 1o C_ A))
58		1on 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1o e. On
59		oaword 5230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((1o e. On /\ A e. On /\ (A .o x) e. On) -> (1o C_ A <-> ((A .o x) +o 1o) C_ ((A .o x) +o A)))
60	58, 59	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((A e. On /\ (A .o x) e. On) -> (1o C_ A <-> ((A .o x) +o 1o) C_ ((A .o x) +o A)))
61	45, 60	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (1o C_ A <-> ((A .o x) +o 1o) C_ ((A .o x) +o A)))
62	57, 61	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. On /\ x e. On) -> ((/) e. A <-> ((A .o x) +o 1o) C_ ((A .o x) +o A)))
63	62	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o x) +o 1o) C_ ((A .o x) +o A))
64		omsuc 5210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (A .o suc x) = ((A .o x) +o A))
65	64	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> (A .o suc x) = ((A .o x) +o A))
66	63, 65	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o x) +o 1o) C_ (A .o suc x))
67	66	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> (suc y e. ((A .o x) +o 1o) -> suc y e. (A .o suc x)))
68	53, 67	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> (y e. (A .o x) -> suc y e. (A .o suc x)))
69		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A .o B) = suc y -> ((A .o B) e. (A .o suc x) <-> suc y e. (A .o suc x)))
70	69	biimprd 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A .o B) = suc y -> (suc y e. (A .o suc x) -> (A .o B) e. (A .o suc x)))
71	68, 70	syl9 71	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = suc y -> (y e. (A .o x) -> (A .o B) e. (A .o suc x))))
72	71	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (/) e. A) -> (y e. (A .o x) -> ((A .o B) = suc y -> (A .o B) e. (A .o suc x))))
73	72	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. On /\ (B e. On /\ x e. On)) /\ (/) e. A) -> (y e. (A .o x) -> ((A .o B) = suc y -> (A .o B) e. (A .o suc x))))
74		omord 5247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On) -> ((B e. suc x /\ (/) e. A) <-> (A .o B) e. (A .o suc x)))
75		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((B e. suc x /\ (/) e. A) -> B e. suc x)
76	74, 75	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On) -> ((A .o B) e. (A .o suc x) -> B e. suc x))
77		sucelon 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. On <-> suc x e. On)
78	76, 77	syl3an2b 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. On /\ x e. On /\ A e. On) -> ((A .o B) e. (A .o suc x) -> B e. suc x))
79	78	3comr 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. On /\ B e. On /\ x e. On) -> ((A .o B) e. (A .o suc x) -> B e. suc x))
80	79	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. On /\ (B e. On /\ x e. On)) -> ((A .o B) e. (A .o suc x) -> B e. suc x))
81	80	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. On /\ (B e. On /\ x e. On)) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) e. (A .o suc x) -> B e. suc x))
82	73, 81	syl6d 67	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. On /\ (B e. On /\ x e. On)) /\ (/) e. A) -> (y e. (A .o x) -> ((A .o B) = suc y -> B e. suc x)))
83		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. On /\ x e. B) -> B e. On)
84	83, 34	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((B e. On /\ x e. B) -> (B e. On /\ x e. On))
85	84, 5	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> (B e. On /\ x e. On))
86	85	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. On /\ ((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B)) -> (A e. On /\ (B e. On /\ x e. On)))
87	86	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ x e. B) -> (A e. On /\ (B e. On /\ x e. On)))
88	82, 87	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ x e. B) /\ (/) e. A) -> (y e. (A .o x) -> ((A .o B) = suc y -> B e. suc x)))
89	88	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ x e. B) -> (y e. (A .o x) -> ((A .o B) = suc y -> B e. suc x)))
90	89	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ x e. B) /\ y e. (A .o x)) -> ((A .o B) = suc y -> B e. suc x))
91	44, 90	mtod 123	. . . . . . . . . . 11 |- (((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ x e. B) /\ y e. (A .o x)) -> -. (A .o B) = suc y)
92	91	exp31 407	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> (x e. B -> (y e. (A .o x) -> -. (A .o B) = suc y)))
93	92	r19.23adv 2215	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> (E.x e. B y e. (A .o x) -> -. (A .o B) = suc y))
94	93	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ (A .o B) = suc y) -> (E.x e. B y e. (A .o x) -> -. (A .o B) = suc y))
95	33, 94	mpd 29	. . . . . . 7 |- ((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ (A .o B) = suc y) -> -. (A .o B) = suc y)
96	95	ex 402	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = suc y -> -. (A .o B) = suc y))
97	96	pm2.01d 105	. . . . 5 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> -. (A .o B) = suc y)
98	97	adantr 425	. . . 4 |- ((((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) /\ y e. On) -> -. (A .o B) = suc y)
99	98	nrexdv 2193	. . 3 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> -. E.y e. On (A .o B) = suc y)
100	8, 23, 99	sylanbrc 527	. 2 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> -. ((A .o B) = (/) \/ E.y e. On (A .o B) = suc y))
101	1, 7, 100	sylanbrc 527	1 |- (((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) /\ (/) e. A) -> Lim (A .o B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U_ciun 3255  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  odi 5258  omass 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain