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Theorem omlimcl 7229
Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )

Proof of Theorem omlimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4931 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 omcl 7188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
3 eloni 4878 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  B
) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
51, 4sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
7 0ellim 4930 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
8 n0i 3775 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
10 n0i 3775 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  A  =  (/) )
119, 10anim12ci 567 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  B  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1211adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1312adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
14 om00 7226 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
1514notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
16 ioran 490 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  <->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1715, 16syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
181, 17sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
2013, 19mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  (/) )
21 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2221sucid 4947 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
suc  y
23 omlim 7185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
24 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) ) )
2524biimpac 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2623, 25sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2722, 26syl5eleq 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) )
28 eliun 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
3029adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
31 onelon 4893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
321, 31sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
33 onnbtwn 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
34 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3635com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3832, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3938adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  B  e.  suc  x )
4039adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
4342, 31jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
441, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
4544anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
4645anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
47 omcl 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
48 eloni 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  x
) )
49 ordsucelsuc 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord  ( A  .o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  .o  x ) ) )
51 oa1suc 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  =  suc  ( A  .o  x ) )
5251eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  ( suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5350, 52bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o ) ) )
5447, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
56 eloni 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
57 ordgt0ge1 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  1o  C_  A
) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
60 1on 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1o  e.  On
61 oaword 7200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
6260, 61mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A  .o  x
)  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A 
<->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6347, 62syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6459, 63bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6564biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) )
66 omsuc 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6865, 67sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( A  .o  suc  x ) )
6968sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7055, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x ) ) )
71 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7271biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7370, 72syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7473com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7574adantlrl 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
76 sucelon 6637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
77 omord 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( B  e. 
suc  x  /\  (/)  e.  A
)  <->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
78 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  suc  x  /\  (/)  e.  A )  ->  B  e.  suc  x )
7977, 78syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
8076, 79syl3an2b 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
81803comr 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
82813expb 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8475, 83syl6d 69 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8546, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8685an32s 804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
8841, 87mtod 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
8988exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) ) )
9089rexlimdv 2933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9190adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) )
9230, 91mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)
9392pm2.01da 442 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9493adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9594nrexdv 2899 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y )
96 ioran 490 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9720, 95, 96sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
98 dflim3 6667 . 2  |-  ( Lim  ( A  .o  B
)  <->  ( Ord  ( A  .o  B )  /\  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) ) )
996, 97, 98sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U_ciun 4315   Ord word 4867   Oncon0 4868   Lim wlim 4869   suc csuc 4870  (class class class)co 6281   1oc1o 7125    +o coa 7129    .o comu 7130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137
This theorem is referenced by:  odi  7230  omass  7231
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