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Theorem omlimcl 7285
Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )

Proof of Theorem omlimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 5503 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 omcl 7244 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
3 eloni 5450 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  B
) )
42, 3syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
51, 4sylan2 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
65adantr 467 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
7 0ellim 5502 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
8 n0i 3767 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
10 n0i 3767 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  A  =  (/) )
119, 10anim12ci 570 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  B  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1211adantll 719 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1312adantll 719 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
14 om00 7282 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
1514notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
16 ioran 493 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  <->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1715, 16syl6bb 265 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
181, 17sylan2 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
1918adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
2013, 19mpbird 236 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  (/) )
21 vex 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2221sucid 5519 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
suc  y
23 omlim 7241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
24 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) ) )
2524biimpac 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2623, 25sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2722, 26syl5eleq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) )
28 eliun 4302 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
2927, 28sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
3029adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
31 onelon 5465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
321, 31sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
33 onnbtwn 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
34 imnan 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
3533, 34sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3635com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3736adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3832, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3938adantll 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  B  e.  suc  x )
4039adantlr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
4140adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
42 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
4342, 31jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
441, 43sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
4544anim2i 572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
4645anassrs 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
47 omcl 7244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
48 eloni 5450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  x
) )
49 ordsucelsuc 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord  ( A  .o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  .o  x ) ) )
51 oa1suc 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  =  suc  ( A  .o  x ) )
5251eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  ( suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5350, 52bitr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o ) ) )
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
56 eloni 5450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
57 ordgt0ge1 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  1o  C_  A
) )
5958adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
60 1on 7195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1o  e.  On
61 oaword 7256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
6260, 61mp3an1 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A  .o  x
)  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A 
<->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6347, 62syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6459, 63bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6564biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) )
66 omsuc 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6865, 67sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( A  .o  suc  x ) )
6968sseld 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7055, 69sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x ) ) )
71 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7271biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7370, 72syl9 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7473com23 82 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7574adantlrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
76 sucelon 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
77 omord 7275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( B  e. 
suc  x  /\  (/)  e.  A
)  <->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
78 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  suc  x  /\  (/)  e.  A )  ->  B  e.  suc  x )
7977, 78syl6bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
8076, 79syl3an2b 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
81803comr 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
82813expb 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8382adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8475, 83syl6d 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8546, 84sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8685an32s 812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8786imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
8841, 87mtod 181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
8988exp31 608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) ) )
9089rexlimdv 2916 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9190adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) )
9230, 91mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)
9392pm2.01da 444 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9493adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9594nrexdv 2882 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y )
96 ioran 493 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9720, 95, 96sylanbrc 669 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
98 dflim3 6686 . 2  |-  ( Lim  ( A  .o  B
)  <->  ( Ord  ( A  .o  B )  /\  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) ) )
996, 97, 98sylanbrc 669 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   E.wrex 2777    C_ wss 3437   (/)c0 3762   U_ciun 4297   Ord word 5439   Oncon0 5440   Lim wlim 5441   suc csuc 5442  (class class class)co 6303   1oc1o 7181    +o coa 7185    .o comu 7186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193
This theorem is referenced by:  odi  7286  omass  7287
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