Theorem omlim 5213

Description: Ordinal multiplication with a limit ordinal. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
omlim	|- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (A .o B) = U_x e. B (A .o x))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem omlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglim2a 5158	. . . 4 |- ((B e. On /\ Lim B) -> (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` B) = U_x e. B (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x))
2	1	adantl 424	. . 3 |- ((A e. On /\ (B e. On /\ Lim B)) -> (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` B) = U_x e. B (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x))
3		omv 5196	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` B))
4		omv 5196	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (A .o x) = (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x))
5		onelon 3683	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ x e. B) -> x e. On)
6	4, 5	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ (B e. On /\ x e. B)) -> (A .o x) = (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x))
7	6	anassrs 489	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ x e. B) -> (A .o x) = (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x))
8	7	iuneq2dv 3279	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> U_x e. B (A .o x) = U_x e. B (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x))
9	3, 8	eqeq12d 1899	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) = U_x e. B (A .o x) <-> (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` B) = U_x e. B (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x)))
10	9	adantrr 431	. . 3 |- ((A e. On /\ (B e. On /\ Lim B)) -> ((A .o B) = U_x e. B (A .o x) <-> (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` B) = U_x e. B (rec({<.y, z>. | z = (y +o A)}, (/))` x)))
11	2, 10	mpbird 213	. 2 |- ((A e. On /\ (B e. On /\ Lim B)) -> (A .o B) = U_x e. B (A .o x))
12		limelon 3727	. . 3 |- ((B e. C /\ Lim B) -> B e. On)
13		simpr 350	. . 3 |- ((B e. C /\ Lim B) -> Lim B)
14	12, 13	jca 310	. 2 |- ((B e. C /\ Lim B) -> (B e. On /\ Lim B))
15	11, 14	sylan2 500	1 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (A .o B) = U_x e. B (A .o x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  U_ciun 3255  {copab 3395  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  omcl 5216  omclOLD 5217  om0r 5221  om1r 5224  omordi 5245  omwordri 5251  omordlim 5256  omlimcl 5257  odi 5258  omass 5259  oeoalem 5271  oeoelem 5273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain