Theorem omlfh3 16979

Description: Foulis-Holland Theorem, part 3. Dual of omlfh1 16978.

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	|- B = (base` K)
omlfh1.j	|- J = (join` K)
omlfh1.m	|- M = (meet` K)
omlfh1.c	|- C = (cm` K)

Assertion

Ref	Expression
omlfh3	|- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ (XCY /\ XCZ)) -> (XJ(YMZ)) = ((XJY)M(XJZ)))

Proof of Theorem omlfh3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlfh1.b	. . . . . . 7 |- B = (base` K)
2		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (oc` K) = (oc` K)
3		omlfh1.c	. . . . . . 7 |- C = (cm` K)
4	1, 2, 3	cmt4 16973	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> ((oc` K)` X)C((oc` K)` Y)))
5	4	3adant3r3 1079	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XCY <-> ((oc` K)` X)C((oc` K)` Y)))
6	1, 2, 3	cmt4 16973	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Z e. B) -> (XCZ <-> ((oc` K)` X)C((oc` K)` Z)))
7	6	3adant3r2 1078	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XCZ <-> ((oc` K)` X)C((oc` K)` Z)))
8	5, 7	anbi12d 690	. . . 4 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XCY /\ XCZ) <-> (((oc` K)` X)C((oc` K)` Y) /\ ((oc` K)` X)C((oc` K)` Z))))
9		simpl 346	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> K e. OML)
10		omlop 16962	. . . . . . . 8 |- (K e. OML -> K e. OP)
11	10	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> K e. OP)
12		simpr1 882	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> X e. B)
13	1, 2	opoccl 16921	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> ((oc` K)` X) e. B)
14	11, 12, 13	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` X) e. B)
15		simpr2 883	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> Y e. B)
16	1, 2	opoccl 16921	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> ((oc` K)` Y) e. B)
17	11, 15, 16	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` Y) e. B)
18		simpr3 884	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> Z e. B)
19	1, 2	opoccl 16921	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ Z e. B) -> ((oc` K)` Z) e. B)
20	11, 18, 19	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` Z) e. B)
21	14, 17, 20	3jca 1050	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B))
22		omlfh1.j	. . . . . . . 8 |- J = (join` K)
23		omlfh1.m	. . . . . . . 8 |- M = (meet` K)
24	1, 22, 23, 3	omlfh1 16978	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ (((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B) /\ (((oc` K)` X)C((oc` K)` Y) /\ ((oc` K)` X)C((oc` K)` Z))) -> (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z))) = ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z))))
25	24	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ (((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B) /\ (((oc` K)` X)C((oc` K)` Y) /\ ((oc` K)` X)C((oc` K)` Z))) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))))
26	25	3exp 1066	. . . . 5 |- (K e. OML -> ((((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B) -> ((((oc` K)` X)C((oc` K)` Y) /\ ((oc` K)` X)C((oc` K)` Z)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))))))
27	9, 21, 26	sylc 83	. . . 4 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((((oc` K)` X)C((oc` K)` Y) /\ ((oc` K)` X)C((oc` K)` Z)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z))))))
28	8, 27	sylbid 220	. . 3 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XCY /\ XCZ) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z))))))
29	28	3impia 1064	. 2 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ (XCY /\ XCZ)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))))
30		omlol 16961	. . . . . 6 |- (K e. OML -> K e. OL)
31	30	adantr 425	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> K e. OL)
32		omllat 16963	. . . . . . 7 |- (K e. OML -> K e. LatNEW)
33	32	adantr 425	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> K e. LatNEW)
34	1, 22	latjcl 16852	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B) -> (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)) e. B)
35	33, 17, 20, 34	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)) e. B)
36	1, 22, 23, 2	oldmm2 16947	. . . . 5 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)) e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = (XJ((oc` K)` (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))))
37	31, 12, 35, 36	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = (XJ((oc` K)` (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))))
38	1, 22, 23, 2	oldmj4 16953	. . . . . 6 |- ((K e. OL /\ Y e. B /\ Z e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z))) = (YMZ))
39	31, 15, 18, 38	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z))) = (YMZ))
40	39	opreq2d 4898	. . . 4 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XJ((oc` K)` (((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))) = (XJ(YMZ)))
41	37, 40	eqtr2d 1926	. . 3 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XJ(YMZ)) = ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))))
42	41	3adant3 896	. 2 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ (XCY /\ XCZ)) -> (XJ(YMZ)) = ((oc` K)` (((oc` K)` X)M(((oc` K)` Y)J((oc` K)` Z)))))
43	1, 23	latmcl 16853	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B) -> (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)) e. B)
44	33, 14, 17, 43	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)) e. B)
45	1, 23	latmcl 16853	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B) -> (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)) e. B)
46	33, 14, 20, 45	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)) e. B)
47	1, 22, 23, 2	oldmj1 16950	. . . . 5 |- ((K e. OL /\ (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)) e. B /\ (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)) e. B) -> ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))) = (((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)))M((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))))
48	31, 44, 46, 47	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))) = (((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)))M((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))))
49	1, 22, 23, 2	oldmm4 16949	. . . . . 6 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))) = (XJY))
50	31, 12, 15, 49	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))) = (XJY))
51	1, 22, 23, 2	oldmm4 16949	. . . . . 6 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Z e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z))) = (XJZ))
52	31, 12, 18, 51	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z))) = (XJZ))
53	50, 52	opreq12d 4900	. . . 4 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Y)))M((oc` K)` (((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))) = ((XJY)M(XJZ)))
54	48, 53	eqtr2d 1926	. . 3 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XJY)M(XJZ)) = ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))))
55	54	3adant3 896	. 2 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ (XCY /\ XCZ)) -> ((XJY)M(XJZ)) = ((oc` K)` ((((oc` K)` X)M((oc` K)` Y))J(((oc` K)` X)M((oc` K)` Z)))))
56	29, 42, 55	3eqtr4d 1937	1 |- ((K e. OML /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B) /\ (XCY /\ XCZ)) -> (XJ(YMZ)) = ((XJY)M(XJZ)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  joincjn 16766  meetcmee 16767  LatNEWclat 16834  occoc 16836  OPcops 16837  cmccmt 16838  OLcol 16839  OMLcoml 16840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-cmt 16906  df-ol 16907  df-oml 16908

Copyright terms: Public domain