MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Structured version   Unicode version

Theorem ominf4 8477
Description:  om is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4  |-  -.  om  e. FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  e. FinIV )
2 peano1 6494 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3 difsnpss 4013 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  <->  ( om  \  { (/)
} )  C.  om )
42, 3mpbi 208 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
5 limom 6490 . . . . 5  |-  Lim  om
65limenpsi 7482 . . . 4  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  ~~  ( om 
\  { (/) } ) )
76ensymd 7356 . . 3  |-  ( om  e. FinIV  ->  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )
8 fin4i 8463 . . 3  |-  ( ( ( om  \  { (/)
} )  C.  om  /\  ( om  \  { (/) } )  ~~  om )  ->  -.  om  e. FinIV )
94, 7, 8sylancr 658 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  -.  om  e. FinIV )
101, 9pm2.65i 173 1  |-  -.  om  e. FinIV
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1761    \ cdif 3322    C. wpss 3326   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289   omcom 6475    ~~ cen 7303  FinIVcfin4 8445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-fin4 8452
This theorem is referenced by:  infpssALT  8478
  Copyright terms: Public domain W3C validator