MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Structured version   Unicode version

Theorem ominf4 8724
Description:  om is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4  |-  -.  om  e. FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  e. FinIV )
2 peano1 6703 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3 difsnpss 4115 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  <->  ( om  \  { (/)
} )  C.  om )
42, 3mpbi 208 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
5 limom 6698 . . . . 5  |-  Lim  om
65limenpsi 7730 . . . 4  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  ~~  ( om 
\  { (/) } ) )
76ensymd 7604 . . 3  |-  ( om  e. FinIV  ->  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )
8 fin4i 8710 . . 3  |-  ( ( ( om  \  { (/)
} )  C.  om  /\  ( om  \  { (/) } )  ~~  om )  ->  -.  om  e. FinIV )
94, 7, 8sylancr 661 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  -.  om  e. FinIV )
101, 9pm2.65i 173 1  |-  -.  om  e. FinIV
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1842    \ cdif 3411    C. wpss 3415   (/)c0 3738   {csn 3972   class class class wbr 4395   omcom 6683    ~~ cen 7551  FinIVcfin4 8692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin4 8699
This theorem is referenced by:  infpssALT  8725
  Copyright terms: Public domain W3C validator