Theorem ominf 4593

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136.

Assertion

Ref	Expression
ominf	|- -. om e. Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 4443	. . 3 |- (om e. Fin <-> E.x e. om om ~~ x)
2		pssinf 4592	. . . . 5 |- ((x (. om /\ x ~~ om) -> -. om e. Fin)
3		nnord 3197	. . . . . . . . 9 |- (x e. om -> Ord x)
4		ordom 3198	. . . . . . . . 9 |- Ord om
5	3, 4	jctir 300	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> (Ord x /\ Ord om))
6		ordelssne 3031	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x e. om <-> (x (_ om /\ x =/= om)))
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. om -> (x e. om <-> (x (_ om /\ x =/= om)))
8	7	ibi 603	. . . . . 6 |- (x e. om -> (x (_ om /\ x =/= om))
9		df-pss 2106	. . . . . 6 |- (x (. om <-> (x (_ om /\ x =/= om))
10	8, 9	sylibr 207	. . . . 5 |- (x e. om -> x (. om)
11		visset 1860	. . . . . 6 |- x e. V
12	11	ensym 4473	. . . . 5 |- (om ~~ x -> x ~~ om)
13	2, 10, 12	syl2an 465	. . . 4 |- ((x e. om /\ om ~~ x) -> -. om e. Fin)
14	13	r19.23aiva 1791	. . 3 |- (E.x e. om om ~~ x -> -. om e. Fin)
15	1, 14	sylbi 206	. 2 |- (om e. Fin -> -. om e. Fin)
16		pm2.01 91	. 2 |- ((om e. Fin -> -. om e. Fin) -> -. om e. Fin)
17	15, 16	ax-mp 7	1 |- -. om e. Fin

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   e. wcel 999   =/= wne 1632  E.wrex 1693   (_ wss 2098   (. wpss 2099   class class class wbr 2674  Ord word 3004  omcom 3188   ~~ cen 4425  Fincfn 4428

This theorem is referenced by:  omsdomnn 4594

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-fin 4432

Copyright terms: Public domain