MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ominf 7802
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf  |-  -.  om  e.  Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 7611 . . 3  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
2 nnord 6719 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
3 ordom 6720 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
4 ordelssne 5457 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  om )  ->  ( x  e.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) ) )
52, 3, 4sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  om  <->  ( x  C_ 
om  /\  x  =/=  om ) ) )
65ibi 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  /\  x  =/=  om ) )
7 df-pss 3406 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) )
86, 7sylibr 217 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  C. 
om )
9 ensym 7636 . . . . 5  |-  ( om 
~~  x  ->  x  ~~  om )
10 pssinf 7800 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  om  /\  x  ~~  om )  ->  -.  om  e.  Fin )
118, 9, 10syl2an 485 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  om 
~~  x )  ->  -.  om  e.  Fin )
1211rexlimiva 2868 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  om  ~~  x  ->  -.  om  e.  Fin )
131, 12sylbi 200 . 2  |-  ( om  e.  Fin  ->  -.  om  e.  Fin )
14 pm2.01 173 . 2  |-  ( ( om  e.  Fin  ->  -. 
om  e.  Fin )  ->  -.  om  e.  Fin )
1513, 14ax-mp 5 1  |-  -.  om  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757    C_ wss 3390    C. wpss 3391   class class class wbr 4395   Ord word 5429   omcom 6711    ~~ cen 7584   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  fineqv  7805  nnsdomg  7848  ackbij1lem18  8685  fin23lem21  8787  fin23lem28  8788  fin23lem30  8790  isfin1-2  8833  uzinf  12217  bitsf1  14499  odhash  17301  ufinffr  21022  poimirlem30  32034  diophin  35686  diophren  35727  fiphp3d  35733
  Copyright terms: Public domain W3C validator