MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Structured version   Unicode version

Theorem ominf 7744
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf  |-  -.  om  e.  Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 7551 . . 3  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
2 nnord 6703 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
3 ordom 6704 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
4 ordelssne 4911 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  om )  ->  ( x  e.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  om  <->  ( x  C_ 
om  /\  x  =/=  om ) ) )
65ibi 241 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  /\  x  =/=  om ) )
7 df-pss 3497 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) )
86, 7sylibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  C. 
om )
9 ensym 7576 . . . . 5  |-  ( om 
~~  x  ->  x  ~~  om )
10 pssinf 7742 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  om  /\  x  ~~  om )  ->  -.  om  e.  Fin )
118, 9, 10syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  om 
~~  x )  ->  -.  om  e.  Fin )
1211rexlimiva 2955 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  om  ~~  x  ->  -.  om  e.  Fin )
131, 12sylbi 195 . 2  |-  ( om  e.  Fin  ->  -.  om  e.  Fin )
14 pm2.01 168 . 2  |-  ( ( om  e.  Fin  ->  -. 
om  e.  Fin )  ->  -.  om  e.  Fin )
1513, 14ax-mp 5 1  |-  -.  om  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818    C_ wss 3481    C. wpss 3482   class class class wbr 4453   Ord word 4883   omcom 6695    ~~ cen 7525   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532
This theorem is referenced by:  fineqv  7747  nnsdomg  7791  ackbij1lem18  8629  fin23lem21  8731  fin23lem28  8732  fin23lem30  8734  isfin1-2  8777  uzinf  12056  bitsf1  13972  odhash  16467  ufinffr  20298  diophin  30625  diophren  30666  fiphp3d  30672
  Copyright terms: Public domain W3C validator