MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ominf 7784
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf  |-  -.  om  e.  Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 7593 . . 3  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
2 nnord 6700 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
3 ordom 6701 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
4 ordelssne 5450 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  om )  ->  ( x  e.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) ) )
52, 3, 4sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  om  <->  ( x  C_ 
om  /\  x  =/=  om ) ) )
65ibi 245 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  /\  x  =/=  om ) )
7 df-pss 3420 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) )
86, 7sylibr 216 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  C. 
om )
9 ensym 7618 . . . . 5  |-  ( om 
~~  x  ->  x  ~~  om )
10 pssinf 7782 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  om  /\  x  ~~  om )  ->  -.  om  e.  Fin )
118, 9, 10syl2an 480 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  om 
~~  x )  ->  -.  om  e.  Fin )
1211rexlimiva 2875 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  om  ~~  x  ->  -.  om  e.  Fin )
131, 12sylbi 199 . 2  |-  ( om  e.  Fin  ->  -.  om  e.  Fin )
14 pm2.01 172 . 2  |-  ( ( om  e.  Fin  ->  -. 
om  e.  Fin )  ->  -.  om  e.  Fin )
1513, 14ax-mp 5 1  |-  -.  om  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738    C_ wss 3404    C. wpss 3405   class class class wbr 4402   Ord word 5422   omcom 6692    ~~ cen 7566   Fincfn 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573
This theorem is referenced by:  fineqv  7787  nnsdomg  7830  ackbij1lem18  8667  fin23lem21  8769  fin23lem28  8770  fin23lem30  8772  isfin1-2  8815  uzinf  12179  bitsf1  14420  odhash  17223  ufinffr  20944  poimirlem30  31970  diophin  35615  diophren  35656  fiphp3d  35662
  Copyright terms: Public domain W3C validator