Theorem ominf 5622

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136.

Assertion

Ref	Expression
ominf	|- -. om e. Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 5441	. . 3 |- (om e. Fin <-> E.x e. om om ~~ x)
2		pssinf 5621	. . . . 5 |- ((x C. om /\ x ~~ om) -> -. om e. Fin)
3		ordelssne 3685	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x e. om <-> (x C_ om /\ x =/= om)))
4		nnord 3959	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> Ord x)
5		ordom 3960	. . . . . . . 8 |- Ord om
6	3, 4, 5	sylancl 525	. . . . . . 7 |- (x e. om -> (x e. om <-> (x C_ om /\ x =/= om)))
7	6	ibi 652	. . . . . 6 |- (x e. om -> (x C_ om /\ x =/= om))
8		df-pss 2607	. . . . . 6 |- (x C. om <-> (x C_ om /\ x =/= om))
9	7, 8	sylibr 217	. . . . 5 |- (x e. om -> x C. om)
10		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
11	10	ensym 5471	. . . . 5 |- (om ~~ x -> x ~~ om)
12	2, 9, 11	syl2an 503	. . . 4 |- ((x e. om /\ om ~~ x) -> -. om e. Fin)
13	12	r19.23aiva 2212	. . 3 |- (E.x e. om om ~~ x -> -. om e. Fin)
14	1, 13	sylbi 216	. 2 |- (om e. Fin -> -. om e. Fin)
15		pm2.01 104	. 2 |- ((om e. Fin -> -. om e. Fin) -> -. om e. Fin)
16	14, 15	ax-mp 7	1 |- -. om e. Fin

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   C_ wss 2593   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  Ord word 3656  omcom 3949   ~~ cen 5423  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  omsdomnn 5623

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain