Theorem omina 9142

Description: om is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow om as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for om.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	|- om e. Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 6739	. . 3 |- (/) e. om
2	1	ne0ii 3750	. 2 |- om =/= (/)
3		cfom 8720	. 2 |- ( cf ` om ) = om
4		nnfi 7791	. . . . 5 |- ( x e. om -> x e. Fin )
5		pwfi 7895	. . . . 5 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Fin )
6	4, 5	sylib 201	. . . 4 |- ( x e. om -> ~P x e. Fin )
7		isfinite 8183	. . . 4 |- ( ~P x e. Fin <-> ~P x ~< om )
8	6, 7	sylib 201	. . 3 |- ( x e. om -> ~P x ~< om )
9	8	rgen 2759	. 2 |- A. x e. om ~P x ~< om
10		elina 9138	. 2 |- ( om e. Inacc <-> ( om =/= (/) /\ ( cf ` om ) = om /\ A. x e. om ~P x ~< om ) )
11	2, 3, 9, 10	mpbir3an 1196	1 |- om e. Inacc

Syntax hints:   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4416   ` cfv 5601   omcom 6719   ~< csdm 7594   Fincfn 7595   cfccf 8397   Inacccina 9134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cf 8401  df-ina 9136

This theorem is referenced by:  r1omALT  9227  r1omtsk  9230