Theorem omina 8959

Description: om is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow om as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for om.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	|- om e. Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 6595	. . 3 |- (/) e. om
2		ne0i 3741	. . 3 |- ( (/) e. om -> om =/= (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- om =/= (/)
4		cfom 8534	. 2 |- ( cf ` om ) = om
5		nnfi 7604	. . . . 5 |- ( x e. om -> x e. Fin )
6		pwfi 7707	. . . . 5 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Fin )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( x e. om -> ~P x e. Fin )
8		isfinite 7959	. . . 4 |- ( ~P x e. Fin <-> ~P x ~< om )
9	7, 8	sylib 196	. . 3 |- ( x e. om -> ~P x ~< om )
10	9	rgen 2889	. 2 |- A. x e. om ~P x ~< om
11		elina 8955	. 2 |- ( om e. Inacc <-> ( om =/= (/) /\ ( cf ` om ) = om /\ A. x e. om ~P x ~< om ) )
12	3, 4, 10, 11	mpbir3an 1170	1 |- om e. Inacc

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   (/)c0 3735   ~Pcpw 3958   class class class wbr 4390   ` cfv 5516   omcom 6576   ~< csdm 7409   Fincfn 7410   cfccf 8208   Inacccina 8951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cf 8212  df-ina 8953

This theorem is referenced by:  r1omALT  9044  r1omtsk  9047