Theorem omina 9086

Description: om is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow om as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for om.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	|- om e. Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 6718	. . 3 |- (/) e. om
2	1	ne0ii 3800	. 2 |- om =/= (/)
3		cfom 8661	. 2 |- ( cf ` om ) = om
4		nnfi 7729	. . . . 5 |- ( x e. om -> x e. Fin )
5		pwfi 7833	. . . . 5 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Fin )
6	4, 5	sylib 196	. . . 4 |- ( x e. om -> ~P x e. Fin )
7		isfinite 8086	. . . 4 |- ( ~P x e. Fin <-> ~P x ~< om )
8	6, 7	sylib 196	. . 3 |- ( x e. om -> ~P x ~< om )
9	8	rgen 2817	. 2 |- A. x e. om ~P x ~< om
10		elina 9082	. 2 |- ( om e. Inacc <-> ( om =/= (/) /\ ( cf ` om ) = om /\ A. x e. om ~P x ~< om ) )
11	2, 3, 9, 10	mpbir3an 1178	1 |- om e. Inacc

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   omcom 6699   ~< csdm 7534   Fincfn 7535   cfccf 8335   Inacccina 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cf 8339  df-ina 9080

This theorem is referenced by:  r1omALT  9171  r1omtsk  9174