Theorem omina 8854

Description: om is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow om as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for om.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	|- om e. Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 6494	. . 3 |- (/) e. om
2		ne0i 3640	. . 3 |- ( (/) e. om -> om =/= (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- om =/= (/)
4		cfom 8429	. 2 |- ( cf ` om ) = om
5		nnfi 7499	. . . . 5 |- ( x e. om -> x e. Fin )
6		pwfi 7602	. . . . 5 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Fin )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( x e. om -> ~P x e. Fin )
8		isfinite 7854	. . . 4 |- ( ~P x e. Fin <-> ~P x ~< om )
9	7, 8	sylib 196	. . 3 |- ( x e. om -> ~P x ~< om )
10	9	rgen 2779	. 2 |- A. x e. om ~P x ~< om
11		elina 8850	. 2 |- ( om e. Inacc <-> ( om =/= (/) /\ ( cf ` om ) = om /\ A. x e. om ~P x ~< om ) )
12	3, 4, 10, 11	mpbir3an 1165	1 |- om e. Inacc

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   class class class wbr 4289   ` cfv 5415   omcom 6475   ~< csdm 7305   Fincfn 7306   cfccf 8103   Inacccina 8846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cf 8107  df-ina 8848

This theorem is referenced by:  r1omALT  8939  r1omtsk  8942