Theorem omeulem1 6784

Description: Lemma for omeu 6787: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omeulem1	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem omeulem1

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 958	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> B e. On )
2		sucelon 4756	. . . . . 6 |- ( B e. On <-> suc B e. On )
3	1, 2	sylib 189	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> suc B e. On )
4		simp1 957	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> A e. On )
5		on0eln0 4596	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
6	5	biimpar 472	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ A =/= (/) ) -> (/) e. A )
7	6	3adant2 976	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> (/) e. A )
8		omword2 6776	. . . . 5 |- ( ( ( suc B e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> suc B C_ ( A .o suc B ) )
9	3, 4, 7, 8	syl21anc 1183	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> suc B C_ ( A .o suc B ) )
10		sucidg 4619	. . . . 5 |- ( B e. On -> B e. suc B )
11		ssel 3302	. . . . 5 |- ( suc B C_ ( A .o suc B ) -> ( B e. suc B -> B e. ( A .o suc B ) ) )
12	10, 11	syl5 30	. . . 4 |- ( suc B C_ ( A .o suc B ) -> ( B e. On -> B e. ( A .o suc B ) ) )
13	9, 1, 12	sylc 58	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> B e. ( A .o suc B ) )
14		suceq 4606	. . . . . 6 |- ( x = B -> suc x = suc B )
15	14	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o suc x ) = ( A .o suc B ) )
16	15	eleq2d 2471	. . . 4 |- ( x = B -> ( B e. ( A .o suc x ) <-> B e. ( A .o suc B ) ) )
17	16	rspcev 3012	. . 3 |- ( ( B e. On /\ B e. ( A .o suc B ) ) -> E. x e. On B e. ( A .o suc x ) )
18	1, 13, 17	syl2anc 643	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On B e. ( A .o suc x ) )
19		suceq 4606	. . . . . 6 |- ( x = z -> suc x = suc z )
20	19	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A .o suc x ) = ( A .o suc z ) )
21	20	eleq2d 2471	. . . 4 |- ( x = z -> ( B e. ( A .o suc x ) <-> B e. ( A .o suc z ) ) )
22	21	onminex 4746	. . 3 |- ( E. x e. On B e. ( A .o suc x ) -> E. x e. On ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) )
23		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
24	23	elon 4550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On <-> Ord x )
25		ordzsl 4784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord x <-> ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) )
26	24, 25	bitri 241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On <-> ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) )
27		noel 3592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B e. (/)
28		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
29		om0x 6722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A .o (/) ) = (/)
30	28, 29	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = (/) )
31	30	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. (/) ) )
32	27, 31	mtbiri 295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> -. B e. ( A .o x ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x = (/) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
34		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> x = suc w )
35		simp2 958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) )
36		raleq 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = suc w -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) <-> A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) ) )
37		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
38	37	sucid 4620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- w e. suc w
39		suceq 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = w -> suc z = suc w )
40	39	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = w -> ( A .o suc z ) = ( A .o suc w ) )
41	40	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = w -> ( B e. ( A .o suc z ) <-> B e. ( A .o suc w ) ) )
42	41	notbid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = w -> ( -. B e. ( A .o suc z ) <-> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
43	42	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. suc w -> ( A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
44	38, 43	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) )
45	36, 44	syl6bi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = suc w -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
46	34, 35, 45	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> -. B e. ( A .o suc w ) )
47		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = suc w -> ( A .o x ) = ( A .o suc w ) )
48	47	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = suc w -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. ( A .o suc w ) ) )
49	48	notbid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = suc w -> ( -. B e. ( A .o x ) <-> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
50	49	biimpar 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = suc w /\ -. B e. ( A .o suc w ) ) -> -. B e. ( A .o x ) )
51	34, 46, 50	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> -. B e. ( A .o x ) )
52	51	3expia 1155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x = suc w -> -. B e. ( A .o x ) ) )
53	52	rexlimdvw 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( E. w e. On x = suc w -> -. B e. ( A .o x ) ) )
54		ralnex 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) <-> -. E. z e. x B e. ( A .o suc z ) )
55		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> A e. On )
56	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> x e. _V )
57		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> Lim x )
58		omlim 6736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( A .o x ) = U_ z e. x ( A .o z ) )
59	55, 56, 57, 58	syl12anc 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A .o x ) = U_ z e. x ( A .o z ) )
60	59	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. U_ z e. x ( A .o z ) ) )
61		eliun 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. U_ z e. x ( A .o z ) <-> E. z e. x B e. ( A .o z ) )
62		limord 4600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Lim x -> Ord x )
63	62	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> Ord x )
64	63, 24	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> x e. On )
65		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> z e. x )
66		onelon 4566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
67	64, 65, 66	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
68		suceloni 4752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. On -> suc z e. On )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> suc z e. On )
70		simp2 958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> A e. On )
71		sssucid 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- z C_ suc z
72		omwordi 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. On /\ suc z e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ suc z -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) ) )
73	71, 72	mpi 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. On /\ suc z e. On /\ A e. On ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) )
74	67, 69, 70, 73	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) )
75	74	sseld 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> ( B e. ( A .o z ) -> B e. ( A .o suc z ) ) )
76	75	3expia 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( z e. x -> ( B e. ( A .o z ) -> B e. ( A .o suc z ) ) ) )
77	76	reximdvai 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( E. z e. x B e. ( A .o z ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
78	61, 77	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. U_ z e. x ( A .o z ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
79	60, 78	sylbid 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. ( A .o x ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
80	79	con3d 127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( -. E. z e. x B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
81	54, 80	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
82	81	expimpd 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
83	82	com12 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( Lim x -> -. B e. ( A .o x ) ) )
84	83	3ad2antl1 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( Lim x -> -. B e. ( A .o x ) ) )
85	33, 53, 84	3jaod 1248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
86	26, 85	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x e. On -> -. B e. ( A .o x ) ) )
87	86	impr 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> -. B e. ( A .o x ) )
88		simpl1 960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> A e. On )
89		simprr 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> x e. On )
90		omcl 6739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
91	88, 89, 90	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( A .o x ) e. On )
92		simpl2 961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> B e. On )
93		ontri1 4575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> -. B e. ( A .o x ) ) )
94	91, 92, 93	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> -. B e. ( A .o x ) ) )
95	87, 94	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( A .o x ) C_ B )
96		oawordex 6759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
97	91, 92, 96	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
98	95, 97	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B )
99	98	3adantr1 1116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B )
100		simp3r 986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) = B )
101		simp21 990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> B e. ( A .o suc x ) )
102		simp11 987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> A e. On )
103		simp23 992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> x e. On )
104		omsuc 6729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
105	102, 103, 104	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
106	101, 105	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> B e. ( ( A .o x ) +o A ) )
107	100, 106	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) )
108		simp3l 985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> y e. On )
109	102, 103, 90	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( A .o x ) e. On )
110		oaord 6749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. On /\ A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
111	108, 102, 109, 110	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
112	107, 111	mpbird 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> y e. A )
113	112, 100	jca 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( y e. A /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
114	113	3expia 1155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) -> ( y e. A /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
115	114	reximdv2 2775	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
116	99, 115	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )
117	116	expcom 425	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) -> ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
118	117	3expia 1155	. . . . 5 |- ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
119	118	com13 76	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( x e. On -> ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
120	119	reximdvai 2776	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. On ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
121	22, 120	syl5 30	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. On B e. ( A .o suc x ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
122	18, 121	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   \/ w3o 935   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   (/)c0 3588   U_ciun 4053   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543  (class class class)co 6040   +o coa 6680   .o comu 6681

This theorem is referenced by:  omeu  6787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688