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Theorem omeulem1 6784
Description: Lemma for omeu 6787: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeulem1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem omeulem1
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
2 sucelon 4756 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  <->  suc  B  e.  On )
31, 2sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  suc  B  e.  On )
4 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
5 on0eln0 4596 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
65biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  e.  A
)
763adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  e.  A
)
8 omword2 6776 . . . . 5  |-  ( ( ( suc  B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  suc  B  C_  ( A  .o  suc  B
) )
93, 4, 7, 8syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  suc  B 
C_  ( A  .o  suc  B ) )
10 sucidg 4619 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  suc  B )
11 ssel 3302 . . . . 5  |-  ( suc 
B  C_  ( A  .o  suc  B )  -> 
( B  e.  suc  B  ->  B  e.  ( A  .o  suc  B
) ) )
1210, 11syl5 30 . . . 4  |-  ( suc 
B  C_  ( A  .o  suc  B )  -> 
( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  .o  suc  B ) ) )
139, 1, 12sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  B ) )
14 suceq 4606 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  suc  x  =  suc  B )
1514oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( A  .o  suc  B ) )
1615eleq2d 2471 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  <->  B  e.  ( A  .o  suc  B
) ) )
1716rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  B  e.  ( A  .o  suc  B ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x ) )
181, 13, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x
) )
19 suceq 4606 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
2019oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( A  .o  suc  z ) )
2120eleq2d 2471 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  <->  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
2221onminex 4746 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  E. x  e.  On  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) ) )
23 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
2423elon 4550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
25 ordzsl 4784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  <->  ( x  =  (/)  \/  E. w  e.  On  x  =  suc  w  \/  Lim  x ) )
2624, 25bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  <->  ( x  =  (/)  \/  E. w  e.  On  x  =  suc  w  \/  Lim  x ) )
27 noel 3592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  B  e.  (/)
28 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
29 om0x 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  .o  (/) )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  (/) )
3130eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  ( A  .o  x )  <->  B  e.  (/) ) )
3227, 31mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( x  =  (/)  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
34 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  x  =  suc  w )
35 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )
36 raleq 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  A. z  e.  suc  w  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) ) )
37 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
3837sucid 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
suc  w
39 suceq 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  w  ->  suc  z  =  suc  w )
4039oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  w  ->  ( A  .o  suc  z )  =  ( A  .o  suc  w ) )
4140eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  w  ->  ( B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  B  e.  ( A  .o  suc  w
) ) )
4241notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4342rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  suc  w  -> 
( A. z  e. 
suc  w  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4438, 43ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  suc  w  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) )
4536, 44syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4634, 35, 45sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w
) )
47 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  w ) )
4847eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( B  e.  ( A  .o  x )  <-> 
B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4948notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( -.  B  e.  ( A  .o  x
)  <->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w
) ) )
5049biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  suc  w  /\  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w
) )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) )
5134, 46, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) )
52513expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( x  =  suc  w  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
5352rexlimdvw 2793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( E. w  e.  On  x  =  suc  w  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
54 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  -.  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) )
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  On )
5623a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  x  e.  _V )
57 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  Lim  x )
58 omlim 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  .o  x )  =  U_ z  e.  x  ( A  .o  z ) )
5955, 56, 57, 58syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  = 
U_ z  e.  x  ( A  .o  z
) )
6059eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  ( A  .o  x )  <->  B  e.  U_ z  e.  x  ( A  .o  z ) ) )
61 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  U_ z  e.  x  ( A  .o  z )  <->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  z
) )
62 limord 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
63623ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  Ord  x )
6463, 24sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  On )
65 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  x )
66 onelon 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
6764, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
68 suceloni 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  suc  z  e.  On )
70 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  A  e.  On )
71 sssucid 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  z  C_  suc  z
72 omwordi 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  On  /\  suc  z  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  suc  z  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  suc  z
) ) )
7371, 72mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  On  /\  suc  z  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  suc  z ) )
7467, 69, 70, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  suc  z
) )
7574sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  ( B  e.  ( A  .o  z )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  z ) ) )
76753expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  (
z  e.  x  -> 
( B  e.  ( A  .o  z )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) ) )
7776reximdvai 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  z )  ->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
7861, 77syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  U_ z  e.  x  ( A  .o  z )  ->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
7960, 78sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  ( A  .o  x )  ->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
8079con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
8154, 80syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8281expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8382com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( Lim  x  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
84833ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( Lim  x  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
8533, 53, 843jaod 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( ( x  =  (/)  \/  E. w  e.  On  x  =  suc  w  \/  Lim  x )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8626, 85syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8786impr 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) )
88 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  A  e.  On )
89 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  x  e.  On )
90 omcl 6739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
9188, 89, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
92 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  B  e.  On )
93 ontri1 4575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
9491, 92, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  (
( A  .o  x
)  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
9587, 94mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  ( A  .o  x )  C_  B )
96 oawordex 6759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  C_  B  <->  E. y  e.  On  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
9791, 92, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  (
( A  .o  x
)  C_  B  <->  E. y  e.  On  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) )
9895, 97mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  E. y  e.  On  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
99983adantr1 1116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  E. y  e.  On  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
100 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
101 simp21 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  x
) )
102 simp11 987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  A  e.  On )
103 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  x  e.  On )
104 omsuc 6729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
105102, 103, 104syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
106101, 105eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  B  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
107100, 106eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
108 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  y  e.  On )
109102, 103, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
110 oaord 6749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  (
y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
111108, 102, 109, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
112107, 111mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  y  e.  A )
113112, 100jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( y  e.  A  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
1141133expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  ( (
y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B )  ->  ( y  e.  A  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) ) )
115114reximdv2 2775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  ( E. y  e.  On  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  B  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) )
11699, 115mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
117116expcom 425 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) )
1181173expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  -> 
( x  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) ) )
119118com13 76 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( B  e.  ( A  .o  suc  x
)  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) ) )
120119reximdvai 2776 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  On  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
12122, 120syl5 30 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
12218, 121mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U_ciun 4053   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543  (class class class)co 6040    +o coa 6680    .o comu 6681
This theorem is referenced by:  omeu  6787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688
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