Theorem omeulem1 7229

Description: Lemma for omeu 7232: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omeulem1	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem omeulem1

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 996	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> B e. On )
2		sucelon 6633	. . . . . 6 |- ( B e. On <-> suc B e. On )
3	1, 2	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> suc B e. On )
4		simp1 995	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> A e. On )
5		on0eln0 4919	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> A =/= (/) ) )
6	5	biimpar 485	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ A =/= (/) ) -> (/) e. A )
7	6	3adant2 1014	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> (/) e. A )
8		omword2 7221	. . . . 5 |- ( ( ( suc B e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> suc B C_ ( A .o suc B ) )
9	3, 4, 7, 8	syl21anc 1226	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> suc B C_ ( A .o suc B ) )
10		sucidg 4942	. . . . 5 |- ( B e. On -> B e. suc B )
11		ssel 3480	. . . . 5 |- ( suc B C_ ( A .o suc B ) -> ( B e. suc B -> B e. ( A .o suc B ) ) )
12	10, 11	syl5 32	. . . 4 |- ( suc B C_ ( A .o suc B ) -> ( B e. On -> B e. ( A .o suc B ) ) )
13	9, 1, 12	sylc 60	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> B e. ( A .o suc B ) )
14		suceq 4929	. . . . . 6 |- ( x = B -> suc x = suc B )
15	14	oveq2d 6293	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o suc x ) = ( A .o suc B ) )
16	15	eleq2d 2511	. . . 4 |- ( x = B -> ( B e. ( A .o suc x ) <-> B e. ( A .o suc B ) ) )
17	16	rspcev 3194	. . 3 |- ( ( B e. On /\ B e. ( A .o suc B ) ) -> E. x e. On B e. ( A .o suc x ) )
18	1, 13, 17	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On B e. ( A .o suc x ) )
19		suceq 4929	. . . . . 6 |- ( x = z -> suc x = suc z )
20	19	oveq2d 6293	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A .o suc x ) = ( A .o suc z ) )
21	20	eleq2d 2511	. . . 4 |- ( x = z -> ( B e. ( A .o suc x ) <-> B e. ( A .o suc z ) ) )
22	21	onminex 6623	. . 3 |- ( E. x e. On B e. ( A .o suc x ) -> E. x e. On ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) )
23		vex 3096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
24	23	elon 4873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On <-> Ord x )
25		ordzsl 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord x <-> ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) )
26	24, 25	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On <-> ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) )
27		noel 3771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. B e. (/)
28		oveq2 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
29		om0x 7167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A .o (/) ) = (/)
30	28, 29	syl6eq 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = (/) )
31	30	eleq2d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. (/) ) )
32	27, 31	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> -. B e. ( A .o x ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x = (/) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
34		simp3 997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> x = suc w )
35		simp2 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) )
36		raleq 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = suc w -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) <-> A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) ) )
37		vex 3096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
38	37	sucid 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- w e. suc w
39		suceq 4929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = w -> suc z = suc w )
40	39	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = w -> ( A .o suc z ) = ( A .o suc w ) )
41	40	eleq2d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = w -> ( B e. ( A .o suc z ) <-> B e. ( A .o suc w ) ) )
42	41	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = w -> ( -. B e. ( A .o suc z ) <-> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
43	42	rspcv 3190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. suc w -> ( A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
44	38, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. suc w -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) )
45	36, 44	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = suc w -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
46	34, 35, 45	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> -. B e. ( A .o suc w ) )
47		oveq2 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = suc w -> ( A .o x ) = ( A .o suc w ) )
48	47	eleq2d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = suc w -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. ( A .o suc w ) ) )
49	48	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = suc w -> ( -. B e. ( A .o x ) <-> -. B e. ( A .o suc w ) ) )
50	49	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = suc w /\ -. B e. ( A .o suc w ) ) -> -. B e. ( A .o x ) )
51	34, 46, 50	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x = suc w ) -> -. B e. ( A .o x ) )
52	51	3expia 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x = suc w -> -. B e. ( A .o x ) ) )
53	52	rexlimdvw 2936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( E. w e. On x = suc w -> -. B e. ( A .o x ) ) )
54		ralnex 2887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) <-> -. E. z e. x B e. ( A .o suc z ) )
55		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> A e. On )
56	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> x e. _V )
57		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> Lim x )
58		omlim 7181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( A .o x ) = U_ z e. x ( A .o z ) )
59	55, 56, 57, 58	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A .o x ) = U_ z e. x ( A .o z ) )
60	59	eleq2d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. ( A .o x ) <-> B e. U_ z e. x ( A .o z ) ) )
61		eliun 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. U_ z e. x ( A .o z ) <-> E. z e. x B e. ( A .o z ) )
62		limord 4923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Lim x -> Ord x )
63	62	3ad2ant1 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> Ord x )
64	63, 24	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> x e. On )
65		simp3 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> z e. x )
66		onelon 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
67	64, 65, 66	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
68		suceloni 6629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. On -> suc z e. On )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> suc z e. On )
70		simp2 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> A e. On )
71		sssucid 4941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- z C_ suc z
72		omwordi 7218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. On /\ suc z e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ suc z -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) ) )
73	71, 72	mpi 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. On /\ suc z e. On /\ A e. On ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) )
74	67, 69, 70, 73	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o suc z ) )
75	74	sseld 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Lim x /\ A e. On /\ z e. x ) -> ( B e. ( A .o z ) -> B e. ( A .o suc z ) ) )
76	75	3expia 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( z e. x -> ( B e. ( A .o z ) -> B e. ( A .o suc z ) ) ) )
77	76	reximdvai 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( E. z e. x B e. ( A .o z ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
78	61, 77	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. U_ z e. x ( A .o z ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
79	60, 78	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B e. ( A .o x ) -> E. z e. x B e. ( A .o suc z ) ) )
80	79	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( -. E. z e. x B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
81	54, 80	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
82	81	expimpd 603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
83	82	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( Lim x -> -. B e. ( A .o x ) ) )
84	83	3ad2antl1 1157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( Lim x -> -. B e. ( A .o x ) ) )
85	33, 53, 84	3jaod 1291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( ( x = (/) \/ E. w e. On x = suc w \/ Lim x ) -> -. B e. ( A .o x ) ) )
86	26, 85	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x e. On -> -. B e. ( A .o x ) ) )
87	86	impr 619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> -. B e. ( A .o x ) )
88		simpl1 998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> A e. On )
89		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> x e. On )
90		omcl 7184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
91	88, 89, 90	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( A .o x ) e. On )
92		simpl2 999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> B e. On )
93		ontri1 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> -. B e. ( A .o x ) ) )
94	91, 92, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> -. B e. ( A .o x ) ) )
95	87, 94	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( A .o x ) C_ B )
96		oawordex 7204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
97	91, 92, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o x ) C_ B <-> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
98	95, 97	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B )
99	98	3adantr1 1154	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B )
100		simp3r 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) = B )
101		simp21 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> B e. ( A .o suc x ) )
102		simp11 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> A e. On )
103		simp23 1030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> x e. On )
104		omsuc 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
105	102, 103, 104	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
106	101, 105	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> B e. ( ( A .o x ) +o A ) )
107	100, 106	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) )
108		simp3l 1023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> y e. On )
109	102, 103, 90	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( A .o x ) e. On )
110		oaord 7194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. On /\ A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
111	108, 102, 109, 110	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
112	107, 111	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> y e. A )
113	112, 100	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) /\ ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) -> ( y e. A /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
114	113	3expia 1197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( ( y e. On /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) -> ( y e. A /\ ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
115	114	reximdv2 2912	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> ( E. y e. On ( ( A .o x ) +o y ) = B -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
116	99, 115	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) /\ ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )
117	116	expcom 435	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) /\ x e. On ) -> ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
118	117	3expia 1197	. . . . 5 |- ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> ( x e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
119	118	com13 80	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( x e. On -> ( ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) ) )
120	119	reximdvai 2913	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. On ( B e. ( A .o suc x ) /\ A. z e. x -. B e. ( A .o suc z ) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
121	22, 120	syl5 32	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. On B e. ( A .o suc x ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B ) )
122	18, 121	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. On E. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 971   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   C_ wss 3458   (/)c0 3767   U_ciun 4311   Ord word 4863   Oncon0 4864   Lim wlim 4865   suc csuc 4866  (class class class)co 6277   +o coa 7125   .o comu 7126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-omul 7133

This theorem is referenced by:  omeu  7232