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Theorem omeulem1 7282
Description: Lemma for omeu 7285: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeulem1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem omeulem1
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1006 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  B  e.  On )
2 sucelon 6649 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  <->  suc  B  e.  On )
31, 2sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  suc  B  e.  On )
4 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
5 on0eln0 5488 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
65biimpar 487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  e.  A
)
763adant2 1024 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  (/)  e.  A
)
8 omword2 7274 . . . . 5  |-  ( ( ( suc  B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A
)  ->  suc  B  C_  ( A  .o  suc  B
) )
93, 4, 7, 8syl21anc 1263 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  suc  B 
C_  ( A  .o  suc  B ) )
10 sucidg 5511 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  suc  B )
11 ssel 3455 . . . . 5  |-  ( suc 
B  C_  ( A  .o  suc  B )  -> 
( B  e.  suc  B  ->  B  e.  ( A  .o  suc  B
) ) )
1210, 11syl5 33 . . . 4  |-  ( suc 
B  C_  ( A  .o  suc  B )  -> 
( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  .o  suc  B ) ) )
139, 1, 12sylc 62 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  B ) )
14 suceq 5498 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  suc  x  =  suc  B )
1514oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( A  .o  suc  B ) )
1615eleq2d 2490 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  <->  B  e.  ( A  .o  suc  B
) ) )
1716rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  B  e.  ( A  .o  suc  B ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x ) )
181, 13, 17syl2anc 665 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x
) )
19 suceq 5498 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
2019oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( A  .o  suc  z ) )
2120eleq2d 2490 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  <->  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
2221onminex 6639 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  E. x  e.  On  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) ) )
23 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
2423elon 5442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
25 ordzsl 6677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  <->  ( x  =  (/)  \/  E. w  e.  On  x  =  suc  w  \/  Lim  x ) )
2624, 25bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  <->  ( x  =  (/)  \/  E. w  e.  On  x  =  suc  w  \/  Lim  x ) )
27 noel 3762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  B  e.  (/)
28 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
29 om0x 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  .o  (/) )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  (/) )
3130eleq2d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  ( A  .o  x )  <->  B  e.  (/) ) )
3227, 31mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( x  =  (/)  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
34 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  x  =  suc  w )
35 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )
36 raleq 3023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  A. z  e.  suc  w  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) ) )
37 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
3837sucid 5512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
suc  w
39 suceq 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  w  ->  suc  z  =  suc  w )
4039oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  w  ->  ( A  .o  suc  z )  =  ( A  .o  suc  w ) )
4140eleq2d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  w  ->  ( B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  B  e.  ( A  .o  suc  w
) ) )
4241notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4342rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  suc  w  -> 
( A. z  e. 
suc  w  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4438, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  suc  w  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) )
4536, 44syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4634, 35, 45sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w
) )
47 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  w ) )
4847eleq2d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( B  e.  ( A  .o  x )  <-> 
B  e.  ( A  .o  suc  w ) ) )
4948notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( -.  B  e.  ( A  .o  x
)  <->  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w
) ) )
5049biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  suc  w  /\  -.  B  e.  ( A  .o  suc  w
) )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) )
5134, 46, 50syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  =  suc  w )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) )
52513expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( x  =  suc  w  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
5352rexlimdvw 2918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( E. w  e.  On  x  =  suc  w  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
54 ralnex 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  <->  -.  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) )
55 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  On )
5623a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  x  e.  _V )
57 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  Lim  x )
58 omlim 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  .o  x )  =  U_ z  e.  x  ( A  .o  z ) )
5955, 56, 57, 58syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  = 
U_ z  e.  x  ( A  .o  z
) )
6059eleq2d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  ( A  .o  x )  <->  B  e.  U_ z  e.  x  ( A  .o  z ) ) )
61 eliun 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  U_ z  e.  x  ( A  .o  z )  <->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  z
) )
62 limord 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
63623ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  Ord  x )
6463, 24sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  On )
65 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  x )
66 onelon 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
6764, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
68 suceloni 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  suc  z  e.  On )
70 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  A  e.  On )
71 sssucid 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  z  C_  suc  z
72 omwordi 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  On  /\  suc  z  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  suc  z  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  suc  z
) ) )
7371, 72mpi 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  On  /\  suc  z  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  suc  z ) )
7467, 69, 70, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  suc  z
) )
7574sseld 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  ( B  e.  ( A  .o  z )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  z ) ) )
76753expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  (
z  e.  x  -> 
( B  e.  ( A  .o  z )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) ) )
7776reximdvai 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  z )  ->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
7861, 77syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  U_ z  e.  x  ( A  .o  z )  ->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
7960, 78sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  ( A  .o  x )  ->  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z
) ) )
8079con3d 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  E. z  e.  x  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
8154, 80syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8281expimpd 606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8382com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( Lim  x  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
84833ad2antl1 1167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( Lim  x  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
8533, 53, 843jaod 1328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( ( x  =  (/)  \/  E. w  e.  On  x  =  suc  w  \/  Lim  x )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8626, 85syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
8786impr 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) )
88 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  A  e.  On )
89 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  x  e.  On )
90 omcl 7237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
9188, 89, 90syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
92 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  B  e.  On )
93 ontri1 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  .o  x ) ) )
9491, 92, 93syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  (
( A  .o  x
)  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  .o  x
) ) )
9587, 94mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  ( A  .o  x )  C_  B )
96 oawordex 7257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  C_  B  <->  E. y  e.  On  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
9791, 92, 96syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  (
( A  .o  x
)  C_  B  <->  E. y  e.  On  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) )
9895, 97mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On ) )  ->  E. y  e.  On  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
99983adantr1 1164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  E. y  e.  On  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
100 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
101 simp21 1038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  B  e.  ( A  .o  suc  x
) )
102 simp11 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  A  e.  On )
103 simp23 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  x  e.  On )
104 omsuc 7227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
105102, 103, 104syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
106101, 105eleqtrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  B  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
107100, 106eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
108 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  y  e.  On )
109102, 103, 90syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
110 oaord 7247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  (
y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
111108, 102, 109, 110syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
112107, 111mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  y  e.  A )
113112, 100jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  /\  ( y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) )  ->  ( y  e.  A  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
1141133expia 1207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  ( (
y  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B )  ->  ( y  e.  A  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) ) )
115114reximdv2 2894 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  ( E. y  e.  On  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  B  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) )
11699, 115mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )
)  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
117116expcom 436 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z )  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) )
1181173expia 1207 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  -> 
( x  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B ) ) )
119118com13 83 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( B  e.  ( A  .o  suc  x
)  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  B ) ) )
120119reximdvai 2895 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  On  ( B  e.  ( A  .o  suc  x )  /\  A. z  e.  x  -.  B  e.  ( A  .o  suc  z ) )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
12122, 120syl5 33 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  =  B ) )
12218, 121mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   (/)c0 3758   U_ciun 4293   Ord word 5432   Oncon0 5433   Lim wlim 5434   suc csuc 5435  (class class class)co 6296    +o coa 7178    .o comu 7179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186
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