Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omelesplit Structured version   Unicode version

Theorem omelesplit 38162
Description: The outer measure of a set  A is less than or equal to the extended addition of the outer measures of the decomposition induced on  A by any  E. Step (a) in the proof of Caratheodory's Method, Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omelesplit.1  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
omelesplit.2  |-  X  = 
U. dom  O
omelesplit.3  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
Assertion
Ref Expression
omelesplit  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  <_  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( A  \  E ) ) ) )

Proof of Theorem omelesplit
StepHypRef Expression
1 inundif 3874 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A  \  E ) )  =  A
21eqcomi 2436 . . . 4  |-  A  =  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A 
\  E ) )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  i^i  E )  u.  ( A  \  E ) ) )
43fveq2d 5883 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  ( O `
 ( ( A  i^i  E )  u.  ( A  \  E
) ) ) )
5 omelesplit.1 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
6 omelesplit.2 . . 3  |-  X  = 
U. dom  O
7 omelesplit.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
8 ssinss1 3691 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A  i^i  E )  C_  X )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  E
)  C_  X )
107ssdifssd 3604 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  \  E
)  C_  X )
115, 6, 9, 10omeunle 38160 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( A  i^i  E
)  u.  ( A 
\  E ) ) )  <_  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( A  \  E ) ) ) )
124, 11eqbrtrd 4442 1  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  <_  ( ( O `  ( A  i^i  E ) ) +e ( O `  ( A  \  E ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1438    e. wcel 1869    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   U.cuni 4217   class class class wbr 4421   dom cdm 4851   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    <_ cle 9678   +ecxad 11409  OutMeascome 38133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xadd 11412  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037  df-ome 38134
This theorem is referenced by:  carageniuncl  38167
  Copyright terms: Public domain W3C validator