Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunltfirp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem omeiunltfirp 38459
 Description: If the outer measure of a countable union is not , then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o OutMeas
omeiunltfirp.x
omeiunltfirp.z
omeiunltfirp.e
omeiunltfirp.re
omeiunltfirp.y
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6
2 fvex 5889 . . . . . 6
31, 2eqeltri 2545 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4 Σ^
5 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8 OutMeas
65adantr 472 . . . . . . 7 OutMeas
7 omeiunltfirp.x . . . . . . 7
8 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9
98ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
10 fvex 5889 . . . . . . . . 9
1110elpw 3948 . . . . . . . 8
129, 11sylib 201 . . . . . . 7
136, 7, 12omecl 38443 . . . . . 6
14 eqid 2471 . . . . . 6
1513, 14fmptd 6061 . . . . 5
1615adantr 472 . . . 4 Σ^
17 simpr 468 . . . 4 Σ^ Σ^
18 omeiunltfirp.re . . . . 5
1918adantr 472 . . . 4 Σ^
204, 16, 17, 19sge0pnffigt 38352 . . 3 Σ^ Σ^
21 simpl 464 . . . . . . 7 Σ^
22 simpr 468 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
23 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . 12
2423resmptd 5162 . . . . . . . . . . 11
2524fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^ Σ^
2722, 26breqtrd 4420 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
2827adantll 728 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
2918rexrd 9708 . . . . . . . . 9
3029ad2antrr 740 . . . . . . . 8 Σ^
31 simpr 468 . . . . . . . . . 10
325ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 OutMeas
338ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
3423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3634, 35sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
3833, 37ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13
3938, 11sylib 201 . . . . . . . . . . . 12
4032, 7, 39omecl 38443 . . . . . . . . . . 11
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
4240, 41fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
4331, 42sge0xrcl 38341 . . . . . . . . 9 Σ^
4443adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
45 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
47 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . 13
48 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
50 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
5232, 7, 39omexrcl 38447 . . . . . . . . . . . . . 14
53 iccgelb 11716 . . . . . . . . . . . . . . 15
5449, 51, 40, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
5512ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5755, 56sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5932, 7, 58omexrcl 38447 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 ssiun2 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6137, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6232, 7, 58, 61omessle 38438 . . . . . . . . . . . . . . 15
6318ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
6552, 59, 51, 62, 64xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . . . . 14
6649, 51, 52, 54, 65elicod 11710 . . . . . . . . . . . . 13
6747, 66sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
6846, 67fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . 11
69 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13
7069rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11
7268, 71readdcld 9688 . . . . . . . . . 10
7372rexrd 9708 . . . . . . . . 9
7473adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^
75 simpr 468 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
7666, 41fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12
7746, 76sge0fsum 38343 . . . . . . . . . . 11 Σ^
78 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13
79 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
82 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
83 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
8578, 81, 82, 84fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12
8685sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . 11
87 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
8887fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
8988cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . 12
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11
9177, 86, 903eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10 Σ^
9269adantr 472 . . . . . . . . . . 11
9368, 92ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . 10
9491, 93eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9 Σ^
9594adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
9630, 44, 74, 75, 95xrlttrd 11479 . . . . . . 7 Σ^
9721, 28, 96syl2anc 673 . . . . . 6 Σ^
9897ex 441 . . . . 5 Σ^
9998adantlr 729 . . . 4 Σ^ Σ^
10099reximdva 2858 . . 3 Σ^ Σ^
10120, 100mpd 15 . 2 Σ^
102 simpl 464 . . 3 Σ^
103 simpr 468 . . . 4 Σ^ Σ^
1043a1i 11 . . . . . 6
105104, 15sge0repnf 38342 . . . . 5 Σ^ Σ^
106105adantr 472 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^
107103, 106mpbird 240 . . 3 Σ^ Σ^
108 nfv 1769 . . . . . 6
109 nfcv 2612 . . . . . . . 8 Σ^
110 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8
111109, 110nffv 5886 . . . . . . 7 Σ^
112 nfcv 2612 . . . . . . 7
113111, 112nfel 2624 . . . . . 6 Σ^
114108, 113nfan 2031 . . . . 5 Σ^
1153a1i 11 . . . . 5 Σ^
11613adantlr 729 . . . . 5 Σ^
11769adantr 472 . . . . 5 Σ^
118 simpr 468 . . . . 5 Σ^ Σ^
119114, 115, 116, 117, 118sge0ltfirpmpt 38364 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^
12018ad3antrrr 744 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^
121118ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
12272ad4ant13 1258 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^
123 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
124108, 123, 5, 7, 1, 8omeiunle 38457 . . . . . . . 8 Σ^
125124ad3antrrr 744 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
126 simpr 468 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
127 simpll 768 . . . . . . . . . . 11 Σ^
128 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130129cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15
131130fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ^ Σ^
132131eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . 13 Σ^ Σ^
133132biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12 Σ^ Σ^
134133ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
135 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 Σ^
13645adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
13766adantllr 733 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
138136, 137sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
139127, 134, 135, 138syl21anc 1291 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
140139oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
141140adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
142126, 141breqtrd 4420 . . . . . . 7 Σ^ Σ^ Σ^ Σ^
143120, 121, 122, 125, 142lelttrd 9810 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^
144143ex 441 . . . . 5 Σ^ Σ^ Σ^
145144reximdva 2858 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^
146119, 145mpd 15 . . 3 Σ^
147102, 107, 146syl2anc 673 . 2 Σ^
148101, 147pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cuz 11182  crp 11325  cico 11662  cicc 11663  csu 13829  Σ^csumge0 38318  OutMeascome 38429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430 This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38462
 Copyright terms: Public domain W3C validator