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Theorem omeiunltfirp 38163
Description: If the outer measure of a countable union is not +oo, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
omeiunltfirp.x  |-  X  = 
U. dom  O
omeiunltfirp.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
omeiunltfirp.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> ~P X
)
omeiunltfirp.re  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
omeiunltfirp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
Distinct variable groups:    n, E, z    n, O, z    n, X    z, Y    n, Z, z    ph, n, z
Allowed substitution hints:    N( z, n)    X( z)    Y( n)

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
2 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  e.  _V
31, 2eqeltri 2507 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  Z  e.  _V )
5 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
65adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  O  e. OutMeas )
7 omeiunltfirp.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. dom  O
8 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : Z --> ~P X
)
98ffvelrnda 6035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
10 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 n )  e. 
_V
1110elpw 3986 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  n )  e.  ~P X  <->  ( E `  n )  C_  X
)
129, 11sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  C_  X )
136, 7, 12omecl 38147 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
1513, 14fmptd 6059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
1615adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
17 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )
18 omeiunltfirp.re . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
1918adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
204, 16, 17, 19sge0pnffigt 38070 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  (Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )
21 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ) )
22 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )
23 elpwinss 37293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  C_  Z )
2423resmptd 5173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  |`  z
)  =  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
2524fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  |`  z
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2625adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2722, 26breqtrd 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2827adantll 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2918rexrd 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
3029ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR* )
31 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )
325ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  O  e. OutMeas )
338ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  E : Z --> ~P X )
3423adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  z  C_  Z )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  z )
3634, 35sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  Z )
3736adantll 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  n  e.  Z )
3833, 37ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
3938, 11sylib 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  C_  X )
4032, 7, 39omecl 38147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
4240, 41fmptd 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : z --> ( 0 [,] +oo )
)
4331, 42sge0xrcl 38059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR* )
4443adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
45 elinel2 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
4645adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
47 rge0ssre 11742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
48 0xr 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  0  e.  RR* )
50 pnfxr 11414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  -> +oo  e.  RR* )
5232, 7, 39omexrcl 38151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
53 iccgelb 11693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( O `
 ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  ( O `  ( E `  n )
) )
5449, 51, 40, 53syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  0  <_  ( O `  ( E `  n )
) )
5512ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
56 iunss 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ n  e.  Z  ( E `  n )  C_  X  <->  A. n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
5755, 56sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
5857ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  U_ n  e.  Z  ( E `  n )  C_  X
)
5932, 7, 58omexrcl 38151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
60 ssiun2 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  ( E `  n )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
6137, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
6232, 7, 58, 61omessle 38142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )
6318ltpnfd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < +oo )
6463ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < +oo )
6552, 59, 51, 62, 64xrlelttrd 11459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  < +oo )
6649, 51, 52, 54, 65elicod 11687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6747, 66sseldi 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  RR )
6846, 67fsumrecl 13793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  e.  RR )
69 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
7069rpred 11343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR )
7268, 71readdcld 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y )  e.  RR )
7372rexrd 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y )  e. 
RR* )
7473adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  +  Y
)  e.  RR* )
75 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
7666, 41fmptd 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo )
)
7746, 76sge0fsum 38061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ k  e.  z  (
( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) `  k
) )
78 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
79 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( E `  n )  =  ( E `  k ) )
8079fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  k )
) )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  /\  n  =  k )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  k )
) )
82 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  z )
83 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O `
 ( E `  k ) )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  k ) )  e. 
_V )
8578, 81, 82, 84fvmptd 5968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  (
( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) `  k
)  =  ( O `
 ( E `  k ) ) )
8685sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  ( (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) `  k )  =  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k )
) )
87 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( E `  k )  =  ( E `  n ) )
8887fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( O `  ( E `  k ) )  =  ( O `  ( E `  n )
) )
8988cbvsumv 13755 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k
) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k
) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
9177, 86, 903eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
9269adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR+ )
9368, 92ltaddrpd 11373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y ) )
9491, 93eqbrtrd 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y ) )
9594adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
9630, 44, 74, 75, 95xrlttrd 11458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
9721, 28, 96syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
9897ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
9998adantlr 720 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
10099reximdva 2901 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) ) )
10120, 100mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
102 simpl 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  ph )
103 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )
1043a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
105104, 15sge0repnf 38060 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo ) )
106105adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo ) )
107103, 106mpbird 236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )
108 nfv 1752 . . . . . 6  |-  F/ n ph
109 nfcv 2585 . . . . . . . 8  |-  F/_ nΣ^
110 nfmpt1 4511 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )
111109, 110nffv 5886 . . . . . . 7  |-  F/_ n
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )
112 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ n RR
113111, 112nfel 2598 . . . . . 6  |-  F/ n
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR
114108, 113nfan 1985 . . . . 5  |-  F/ n
( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )
1153a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  Z  e.  _V )
11613adantlr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( O `  ( E `  n
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11769adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  Y  e.  RR+ )
118 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )
119114, 115, 116, 117, 118sge0ltfirpmpt 38082 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )
12018ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
121118ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )
12272ad4ant13 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y )  e.  RR )
123 nfcv 2585 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n E
124108, 123, 5, 7, 1, 8omeiunle 38161 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
125124ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
126 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )
127 simpll 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ph )
128 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( E `  n )  =  ( E `  m ) )
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  m )
) )
130129cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m ) ) )
131130fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )
132131eleq1i 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR  <->  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )
133132biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR  ->  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )  e.  RR )
134133ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )
135 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )
13645adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
13766adantllr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
138136, 137sge0fsummpt 38064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
139127, 134, 135, 138syl21anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
140139oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  =  (
sum_ n  e.  z 
( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
141140adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  =  (
sum_ n  e.  z 
( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
142126, 141breqtrd 4446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
143120, 121, 122, 125, 142lelttrd 9795 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
144143ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
145144reximdva 2901 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) ) )
146119, 145mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
147102, 107, 146syl2anc 666 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
148101, 147pm2.61dan 799 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   U_ciun 4297   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851    |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304   [,)cico 11639   [,]cicc 11640   sum_csu 13745  Σ^csumge0 38036  OutMeascome 38133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037  df-ome 38134
This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38166
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