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Theorem omeiunltfirp 38340
Description: If the outer measure of a countable union is not +oo, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
omeiunltfirp.x  |-  X  = 
U. dom  O
omeiunltfirp.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
omeiunltfirp.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> ~P X
)
omeiunltfirp.re  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
omeiunltfirp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
Distinct variable groups:    n, E, z    n, O, z    n, X    z, Y    n, Z, z    ph, n, z
Allowed substitution hints:    N( z, n)    X( z)    Y( n)

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
2 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  e.  _V
31, 2eqeltri 2525 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  Z  e.  _V )
5 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
65adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  O  e. OutMeas )
7 omeiunltfirp.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. dom  O
8 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : Z --> ~P X
)
98ffvelrnda 6022 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
10 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 n )  e. 
_V
1110elpw 3957 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  n )  e.  ~P X  <->  ( E `  n )  C_  X
)
129, 11sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  C_  X )
136, 7, 12omecl 38324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
1513, 14fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
1615adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
17 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )
18 omeiunltfirp.re . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
1918adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
204, 16, 17, 19sge0pnffigt 38238 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  (Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )
21 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ) )
22 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )
23 elpwinss 37387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  C_  Z )
2423resmptd 5156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  |`  z
)  =  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
2524fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  |`  z
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2625adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2722, 26breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2827adantll 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2918rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
3029ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR* )
31 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )
325ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  O  e. OutMeas )
338ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  E : Z --> ~P X )
3423adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  z  C_  Z )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  z )
3634, 35sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  Z )
3736adantll 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  n  e.  Z )
3833, 37ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
3938, 11sylib 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  C_  X )
4032, 7, 39omecl 38324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
4240, 41fmptd 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : z --> ( 0 [,] +oo )
)
4331, 42sge0xrcl 38227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR* )
4443adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
45 elinel2 3620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
4645adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
47 rge0ssre 11740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
48 0xr 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  0  e.  RR* )
50 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  -> +oo  e.  RR* )
5232, 7, 39omexrcl 38328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
53 iccgelb 11691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( O `
 ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  ( O `  ( E `  n )
) )
5449, 51, 40, 53syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  0  <_  ( O `  ( E `  n )
) )
5512ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
56 iunss 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ n  e.  Z  ( E `  n )  C_  X  <->  A. n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
5755, 56sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
5857ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  U_ n  e.  Z  ( E `  n )  C_  X
)
5932, 7, 58omexrcl 38328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
60 ssiun2 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  ( E `  n )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
6137, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
6232, 7, 58, 61omessle 38319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )
6318ltpnfd 11423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < +oo )
6463ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < +oo )
6552, 59, 51, 62, 64xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  < +oo )
6649, 51, 52, 54, 65elicod 11685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6747, 66sseldi 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  RR )
6846, 67fsumrecl 13800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  e.  RR )
69 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
7069rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR )
7268, 71readdcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y )  e.  RR )
7372rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y )  e. 
RR* )
7473adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  +  Y
)  e.  RR* )
75 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
7666, 41fmptd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo )
)
7746, 76sge0fsum 38229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ k  e.  z  (
( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) `  k
) )
78 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
79 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( E `  n )  =  ( E `  k ) )
8079fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  k )
) )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  /\  n  =  k )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  k )
) )
82 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  z )
83 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O `
 ( E `  k ) )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  k ) )  e. 
_V )
8578, 81, 82, 84fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  (
( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) `  k
)  =  ( O `
 ( E `  k ) ) )
8685sumeq2dv 13769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  ( (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) `  k )  =  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k )
) )
87 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( E `  k )  =  ( E `  n ) )
8887fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( O `  ( E `  k ) )  =  ( O `  ( E `  n )
) )
8988cbvsumv 13762 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k
) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k
) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
9177, 86, 903eqtrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
9269adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR+ )
9368, 92ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y ) )
9491, 93eqbrtrd 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y ) )
9594adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
9630, 44, 74, 75, 95xrlttrd 11456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
9721, 28, 96syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
9897ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
9998adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
10099reximdva 2862 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) ) )
10120, 100mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
102 simpl 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  ph )
103 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )
1043a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
105104, 15sge0repnf 38228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo ) )
106105adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo ) )
107103, 106mpbird 236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )
108 nfv 1761 . . . . . 6  |-  F/ n ph
109 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ nΣ^
110 nfmpt1 4492 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )
111109, 110nffv 5872 . . . . . . 7  |-  F/_ n
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )
112 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ n RR
113111, 112nfel 2604 . . . . . 6  |-  F/ n
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR
114108, 113nfan 2011 . . . . 5  |-  F/ n
( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )
1153a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  Z  e.  _V )
11613adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( O `  ( E `  n
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11769adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  Y  e.  RR+ )
118 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )
119114, 115, 116, 117, 118sge0ltfirpmpt 38250 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )
12018ad3antrrr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
121118ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )
12272ad4ant13 1234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y )  e.  RR )
123 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n E
124108, 123, 5, 7, 1, 8omeiunle 38338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
125124ad3antrrr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
126 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )
127 simpll 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ph )
128 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( E `  n )  =  ( E `  m ) )
129128fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  m )
) )
130129cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m ) ) )
131130fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )
132131eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR  <->  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )
133132biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR  ->  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )  e.  RR )
134133ad2antlr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )
135 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )
13645adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
13766adantllr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
138136, 137sge0fsummpt 38232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
139127, 134, 135, 138syl21anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
140139oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  =  (
sum_ n  e.  z 
( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
141140adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  =  (
sum_ n  e.  z 
( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
142126, 141breqtrd 4427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
143120, 121, 122, 125, 142lelttrd 9793 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
144143ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
145144reximdva 2862 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) ) )
146119, 145mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
147102, 107, 146syl2anc 667 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
148101, 147pm2.61dan 800 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   sum_csu 13752  Σ^csumge0 38204  OutMeascome 38310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205  df-ome 38311
This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38343
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