Theorem omeiunltfirp 38340

Description: If the outer measure of a countable union is not +oo, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunltfirp.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omeiunltfirp.x	|- X = U. dom O
omeiunltfirp.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
omeiunltfirp.e	|- ( ph -> E : Z --> ~P X )
omeiunltfirp.re	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
omeiunltfirp.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
omeiunltfirp	|- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Distinct variable groups:   n, E, z   n, O, z   n, X   z, Y   n, Z, z   ph, n, z

Allowed substitution hints:   N( z, n)   X( z)   Y( n)

Proof of Theorem omeiunltfirp

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunltfirp.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` N )
2		fvex 5875	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` N ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2525	. . . . 5 |- Z e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> Z e. _V )
5		omeiunltfirp.o	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O e. OutMeas )
6	5	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> O e. OutMeas )
7		omeiunltfirp.x	. . . . . . 7 |- X = U. dom O
8		omeiunltfirp.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : Z --> ~P X )
9	8	ffvelrnda 6022	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
10		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( E ` n ) e. _V
11	10	elpw 3957	. . . . . . . 8 |- ( ( E ` n ) e. ~P X <-> ( E ` n ) C_ X )
12	9, 11	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	6, 7, 12	omecl 38324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
15	13, 14	fmptd 6046	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
16	15	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
17		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
18		omeiunltfirp.re	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
19	18	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
20	4, 16, 17, 19	sge0pnffigt 38238	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
21		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) )
22		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
23		elpwinss 37387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z C_ Z )
24	23	resmptd 5156	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
25	24	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
27	22, 26	breqtrd 4427	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
28	27	adantll 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
29	18	rexrd 9690	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
30	29	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
31		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
32	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> O e. OutMeas )
33	8	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> E : Z --> ~P X )
34	23	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> z C_ Z )
35		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. z )
36	34, 35	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
37	36	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
38	33, 37	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
39	38, 11	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ X )
40	32, 7, 39	omecl 38324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
42	40, 41	fmptd 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
43	31, 42	sge0xrcl 38227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
44	43	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
45		elinel2 3620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z e. Fin )
46	45	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
47		rge0ssre 11740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
48		0xr 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 e. RR* )
50		pnfxr 11412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> +oo e. RR* )
52	32, 7, 39	omexrcl 38328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR* )
53		iccgelb 11691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
54	49, 51, 40, 53	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
55	12	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
56		iunss 4319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
57	55, 56	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
58	57	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
59	32, 7, 58	omexrcl 38328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
60		ssiun2 4321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
61	37, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
62	32, 7, 58, 61	omessle 38319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) <_ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) )
63	18	ltpnfd 11423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
64	63	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
65	52, 59, 51, 62, 64	xrlelttrd 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) < +oo )
66	49, 51, 52, 54, 65	elicod 11685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67	47, 66	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
68	46, 67	fsumrecl 13800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
69		omeiunltfirp.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. RR+ )
70	69	rpred 11341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
71	70	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
72	68, 71	readdcld 9670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
73	72	rexrd 9690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
74	73	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
75		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
76	66, 41	fmptd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo ) )
77	46, 76	sge0fsum 38229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) )
78		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
79		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( E ` n ) = ( E ` k ) )
80	79	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
81	80	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) /\ n = k ) -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
82		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> k e. z )
83		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O ` ( E ` k ) ) e. _V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( O ` ( E ` k ) ) e. _V )
85	78, 81, 82, 84	fvmptd 5954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
86	85	sumeq2dv 13769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) )
87		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( E ` k ) = ( E ` n ) )
88	87	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( O ` ( E ` k ) ) = ( O ` ( E ` n ) ) )
89	88	cbvsumv 13762	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
91	77, 86, 90	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
92	69	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR+ )
93	68, 92	ltaddrpd 11371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
94	91, 93	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
95	94	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
96	30, 44, 74, 75, 95	xrlttrd 11456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
97	21, 28, 96	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
98	97	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
99	98	adantlr 721	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
100	99	reximdva 2862	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
101	20, 100	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
102		simpl 459	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ph )
103		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
104	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. _V )
105	104, 15	sge0repnf 38228	. . . . 5 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
106	105	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
107	103, 106	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
108		nfv 1761	. . . . . 6 |- F/ n ph
109		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ nΣ^
110		nfmpt1 4492	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
111	109, 110	nffv 5872	. . . . . . 7 |- F/_ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
112		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ n RR
113	111, 112	nfel 2604	. . . . . 6 |- F/ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR
114	108, 113	nfan 2011	. . . . 5 |- F/ n ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
115	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Z e. _V )
116	13	adantlr 721	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
117	69	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Y e. RR+ )
118		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
119	114, 115, 116, 117, 118	sge0ltfirpmpt 38250	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
120	18	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
121	118	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
122	72	ad4ant13 1234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
123		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ n E
124	108, 123, 5, 7, 1, 8	omeiunle 38338	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
125	124	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
126		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
127		simpll 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ph )
128		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
129	128	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` m ) ) )
130	129	cbvmptv 4495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) )
131	130	fveq2i 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) )
132	131	eleq1i 2520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
133	132	biimpi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
134	133	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
135		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
136	45	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
137	66	adantllr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
138	136, 137	sge0fsummpt 38232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
139	127, 134, 135, 138	syl21anc 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
140	139	oveq1d 6305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
141	140	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
142	126, 141	breqtrd 4427	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
143	120, 121, 122, 125, 142	lelttrd 9793	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
144	143	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
145	144	reximdva 2862	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
146	119, 145	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
147	102, 107, 146	syl2anc 667	. 2 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
148	101, 147	pm2.61dan 800	1 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   sum_csu 13752  Σ^{^}csumge0 38204  OutMeascome 38310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205  df-ome 38311

This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38343