Theorem omeiunltfirp 38163

Description: If the outer measure of a countable union is not +oo, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunltfirp.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omeiunltfirp.x	|- X = U. dom O
omeiunltfirp.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
omeiunltfirp.e	|- ( ph -> E : Z --> ~P X )
omeiunltfirp.re	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
omeiunltfirp.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
omeiunltfirp	|- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Distinct variable groups:   n, E, z   n, O, z   n, X   z, Y   n, Z, z   ph, n, z

Allowed substitution hints:   N( z, n)   X( z)   Y( n)

Proof of Theorem omeiunltfirp

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunltfirp.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` N )
2		fvex 5889	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` N ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2507	. . . . 5 |- Z e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> Z e. _V )
5		omeiunltfirp.o	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O e. OutMeas )
6	5	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> O e. OutMeas )
7		omeiunltfirp.x	. . . . . . 7 |- X = U. dom O
8		omeiunltfirp.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : Z --> ~P X )
9	8	ffvelrnda 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
10		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( E ` n ) e. _V
11	10	elpw 3986	. . . . . . . 8 |- ( ( E ` n ) e. ~P X <-> ( E ` n ) C_ X )
12	9, 11	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	6, 7, 12	omecl 38147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
15	13, 14	fmptd 6059	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
16	15	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
17		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
18		omeiunltfirp.re	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
19	18	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
20	4, 16, 17, 19	sge0pnffigt 38070	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
21		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) )
22		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
23		elpwinss 37293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z C_ Z )
24	23	resmptd 5173	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
25	24	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
27	22, 26	breqtrd 4446	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
28	27	adantll 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
29	18	rexrd 9692	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
30	29	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
31		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
32	5	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> O e. OutMeas )
33	8	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> E : Z --> ~P X )
34	23	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> z C_ Z )
35		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. z )
36	34, 35	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
37	36	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
38	33, 37	ffvelrnd 6036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
39	38, 11	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ X )
40	32, 7, 39	omecl 38147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41		eqid 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
42	40, 41	fmptd 6059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
43	31, 42	sge0xrcl 38059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
44	43	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
45		elinel2 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z e. Fin )
46	45	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
47		rge0ssre 11742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
48		0xr 9689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 e. RR* )
50		pnfxr 11414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> +oo e. RR* )
52	32, 7, 39	omexrcl 38151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR* )
53		iccgelb 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
54	49, 51, 40, 53	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
55	12	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
56		iunss 4338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
57	55, 56	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
58	57	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
59	32, 7, 58	omexrcl 38151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
60		ssiun2 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
61	37, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
62	32, 7, 58, 61	omessle 38142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) <_ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) )
63	18	ltpnfd 11425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
64	63	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
65	52, 59, 51, 62, 64	xrlelttrd 11459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) < +oo )
66	49, 51, 52, 54, 65	elicod 11687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67	47, 66	sseldi 3463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
68	46, 67	fsumrecl 13793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
69		omeiunltfirp.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. RR+ )
70	69	rpred 11343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
71	70	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
72	68, 71	readdcld 9672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
73	72	rexrd 9692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
74	73	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
75		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
76	66, 41	fmptd 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo ) )
77	46, 76	sge0fsum 38061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) )
78		eqidd 2424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
79		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( E ` n ) = ( E ` k ) )
80	79	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
81	80	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) /\ n = k ) -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
82		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> k e. z )
83		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O ` ( E ` k ) ) e. _V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( O ` ( E ` k ) ) e. _V )
85	78, 81, 82, 84	fvmptd 5968	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
86	85	sumeq2dv 13762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) )
87		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( E ` k ) = ( E ` n ) )
88	87	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( O ` ( E ` k ) ) = ( O ` ( E ` n ) ) )
89	88	cbvsumv 13755	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
91	77, 86, 90	3eqtrd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
92	69	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR+ )
93	68, 92	ltaddrpd 11373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
94	91, 93	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
95	94	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
96	30, 44, 74, 75, 95	xrlttrd 11458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
97	21, 28, 96	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
98	97	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
99	98	adantlr 720	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
100	99	reximdva 2901	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
101	20, 100	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
102		simpl 459	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ph )
103		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
104	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. _V )
105	104, 15	sge0repnf 38060	. . . . 5 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
106	105	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
107	103, 106	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
108		nfv 1752	. . . . . 6 |- F/ n ph
109		nfcv 2585	. . . . . . . 8 |- F/_ nΣ^
110		nfmpt1 4511	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
111	109, 110	nffv 5886	. . . . . . 7 |- F/_ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
112		nfcv 2585	. . . . . . 7 |- F/_ n RR
113	111, 112	nfel 2598	. . . . . 6 |- F/ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR
114	108, 113	nfan 1985	. . . . 5 |- F/ n ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
115	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Z e. _V )
116	13	adantlr 720	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
117	69	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Y e. RR+ )
118		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
119	114, 115, 116, 117, 118	sge0ltfirpmpt 38082	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
120	18	ad3antrrr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
121	118	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
122	72	ad4ant13 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
123		nfcv 2585	. . . . . . . . 9 |- F/_ n E
124	108, 123, 5, 7, 1, 8	omeiunle 38161	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
125	124	ad3antrrr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
126		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
127		simpll 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ph )
128		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
129	128	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` m ) ) )
130	129	cbvmptv 4514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) )
131	130	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) )
132	131	eleq1i 2500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
133	132	biimpi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
134	133	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
135		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
136	45	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
137	66	adantllr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
138	136, 137	sge0fsummpt 38064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
139	127, 134, 135, 138	syl21anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
140	139	oveq1d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
141	140	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
142	126, 141	breqtrd 4446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
143	120, 121, 122, 125, 142	lelttrd 9795	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
144	143	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
145	144	reximdva 2901	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
146	119, 145	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
147	102, 107, 146	syl2anc 666	. 2 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
148	101, 147	pm2.61dan 799	1 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   i^i cin 3436   C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   U_ciun 4297   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   dom cdm 4851   |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   RRcr 9540   0cc0 9541   + caddc 9544   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676   < clt 9677   <_ cle 9678   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304   [,)cico 11639   [,]cicc 11640   sum_csu 13745  Σ^{^}csumge0 38036  OutMeascome 38133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037  df-ome 38134

This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38166