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Theorem omeiunltfirp 38459
Description: If the outer measure of a countable union is not +oo, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
omeiunltfirp.x  |-  X  = 
U. dom  O
omeiunltfirp.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
omeiunltfirp.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> ~P X
)
omeiunltfirp.re  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
omeiunltfirp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
Distinct variable groups:    n, E, z    n, O, z    n, X    z, Y    n, Z, z    ph, n, z
Allowed substitution hints:    N( z, n)    X( z)    Y( n)

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
2 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  e.  _V
31, 2eqeltri 2545 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  Z  e.  _V )
5 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
65adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  O  e. OutMeas )
7 omeiunltfirp.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. dom  O
8 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : Z --> ~P X
)
98ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
10 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 n )  e. 
_V
1110elpw 3948 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  n )  e.  ~P X  <->  ( E `  n )  C_  X
)
129, 11sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  C_  X )
136, 7, 12omecl 38443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
1513, 14fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
1615adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
17 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )
18 omeiunltfirp.re . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
1918adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
204, 16, 17, 19sge0pnffigt 38352 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  (Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )
21 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ) )
22 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )
23 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  C_  Z )
2423resmptd 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  |`  z
)  =  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
2524fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )  |`  z
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2625adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) ) )
2722, 26breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2827adantll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
2918rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
3029ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR* )
31 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )
325ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  O  e. OutMeas )
338ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  E : Z --> ~P X )
3423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  z  C_  Z )
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  z )
3634, 35sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  n  e.  z
)  ->  n  e.  Z )
3736adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  n  e.  Z )
3833, 37ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  e.  ~P X )
3938, 11sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  C_  X )
4032, 7, 39omecl 38443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( n  e.  z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )
4240, 41fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : z --> ( 0 [,] +oo )
)
4331, 42sge0xrcl 38341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR* )
4443adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e. 
RR* )
45 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
47 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
48 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  0  e.  RR* )
50 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  -> +oo  e.  RR* )
5232, 7, 39omexrcl 38447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
53 iccgelb 11716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( O `
 ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  ( O `  ( E `  n )
) )
5449, 51, 40, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  0  <_  ( O `  ( E `  n )
) )
5512ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
56 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ n  e.  Z  ( E `  n )  C_  X  <->  A. n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
5755, 56sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) 
C_  X )
5857ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  U_ n  e.  Z  ( E `  n )  C_  X
)
5932, 7, 58omexrcl 38447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e. 
RR* )
60 ssiun2 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  ( E `  n )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
6137, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( E `  n )  C_ 
U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
6232, 7, 58, 61omessle 38438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  <_ 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) ) )
6318ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < +oo )
6463ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < +oo )
6552, 59, 51, 62, 64xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  < +oo )
6649, 51, 52, 54, 65elicod 11710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6747, 66sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  RR )
6846, 67fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  e.  RR )
69 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
7069rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR )
7268, 71readdcld 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y )  e.  RR )
7372rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y )  e. 
RR* )
7473adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  +  Y
)  e.  RR* )
75 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
7666, 41fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo )
)
7746, 76sge0fsum 38343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ k  e.  z  (
( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) `  k
) )
78 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) )  =  ( n  e.  z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) ) )
79 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( E `  n )  =  ( E `  k ) )
8079fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  k )
) )
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  /\  n  =  k )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  k )
) )
82 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  z )
83 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O `
 ( E `  k ) )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  k ) )  e. 
_V )
8578, 81, 82, 84fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  (
( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) `  k
)  =  ( O `
 ( E `  k ) ) )
8685sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  ( (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) `  k )  =  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k )
) )
87 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( E `  k )  =  ( E `  n ) )
8887fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( O `  ( E `  k ) )  =  ( O `  ( E `  n )
) )
8988cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k
) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  ( O `  ( E `  k
) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
9177, 86, 903eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
9269adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR+ )
9368, 92ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y ) )
9491, 93eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `
 n ) )  +  Y ) )
9594adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
9630, 44, 74, 75, 95xrlttrd 11479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
9721, 28, 96syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
9897ex 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
9998adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
10099reximdva 2858 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
(Σ^ `  ( ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n ) ) )  |`  z
) )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) ) )
10120, 100mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
102 simpl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  ph )
103 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo )
1043a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
105104, 15sge0repnf 38342 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo ) )
106105adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  = +oo ) )
107103, 106mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )
108 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ n ph
109 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ nΣ^
110 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) )
111109, 110nffv 5886 . . . . . . 7  |-  F/_ n
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )
112 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ n RR
113111, 112nfel 2624 . . . . . 6  |-  F/ n
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR
114108, 113nfan 2031 . . . . 5  |-  F/ n
( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )
1153a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  Z  e.  _V )
11613adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( O `  ( E `  n
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11769adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  Y  e.  RR+ )
118 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )
119114, 115, 116, 117, 118sge0ltfirpmpt 38364 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )
12018ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  e.  RR )
121118ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )
12272ad4ant13 1258 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y )  e.  RR )
123 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n E
124108, 123, 5, 7, 1, 8omeiunle 38457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
125124ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <_ 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) ) )
126 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )
127 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ph )
128 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( E `  n )  =  ( E `  m ) )
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( O `  ( E `  n ) )  =  ( O `  ( E `  m )
) )
130129cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  |->  ( O `
 ( E `  n ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m ) ) )
131130fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  =  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )
132131eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR  <->  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )
133132biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR  ->  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )  e.  RR )
134133ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )
135 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )
13645adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
13766adantllr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  m )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  z )  ->  ( O `  ( E `  n ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
138136, 137sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
m  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 m ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
139127, 134, 135, 138syl21anc 1291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
n  e.  z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) ) )
140139oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  =  (
sum_ n  e.  z 
( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
141140adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  =  (
sum_ n  e.  z 
( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
142126, 141breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
143120, 121, 122, 125, 142lelttrd 9810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  <  (
(Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y ) )  -> 
( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) )
144143ex 441 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  e.  RR )  /\  z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  ->  ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  < 
( sum_ n  e.  z  ( O `  ( E `  n )
)  +  Y ) ) )
145144reximdva 2858 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )
(Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  < 
( (Σ^ `  ( n  e.  z 
|->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  +  Y )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) ) )
146119, 145mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `  n )
) ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
147102, 107, 146syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
n  e.  Z  |->  ( O `  ( E `
 n ) ) ) )  = +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
148101, 147pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) ( O `  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  <  ( sum_ n  e.  z  ( O `
 ( E `  n ) )  +  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318  OutMeascome 38429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430
This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38462
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