Theorem omeiunltfirp 38459

Description: If the outer measure of a countable union is not +oo, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunltfirp.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omeiunltfirp.x	|- X = U. dom O
omeiunltfirp.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
omeiunltfirp.e	|- ( ph -> E : Z --> ~P X )
omeiunltfirp.re	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
omeiunltfirp.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
omeiunltfirp	|- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Distinct variable groups:   n, E, z   n, O, z   n, X   z, Y   n, Z, z   ph, n, z

Allowed substitution hints:   N( z, n)   X( z)   Y( n)

Proof of Theorem omeiunltfirp

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunltfirp.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` N )
2		fvex 5889	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` N ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2545	. . . . 5 |- Z e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> Z e. _V )
5		omeiunltfirp.o	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O e. OutMeas )
6	5	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> O e. OutMeas )
7		omeiunltfirp.x	. . . . . . 7 |- X = U. dom O
8		omeiunltfirp.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : Z --> ~P X )
9	8	ffvelrnda 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
10		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( E ` n ) e. _V
11	10	elpw 3948	. . . . . . . 8 |- ( ( E ` n ) e. ~P X <-> ( E ` n ) C_ X )
12	9, 11	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	6, 7, 12	omecl 38443	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
15	13, 14	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
16	15	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
17		simpr 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
18		omeiunltfirp.re	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
19	18	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
20	4, 16, 17, 19	sge0pnffigt 38352	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
21		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) )
22		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
23		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z C_ Z )
24	23	resmptd 5162	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
25	24	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
26	25	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
27	22, 26	breqtrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
28	27	adantll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
29	18	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
30	29	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
31		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
32	5	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> O e. OutMeas )
33	8	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> E : Z --> ~P X )
34	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> z C_ Z )
35		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. z )
36	34, 35	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
37	36	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
38	33, 37	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
39	38, 11	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ X )
40	32, 7, 39	omecl 38443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
42	40, 41	fmptd 6061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
43	31, 42	sge0xrcl 38341	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
44	43	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
45		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z e. Fin )
46	45	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
47		rge0ssre 11766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
48		0xr 9705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 e. RR* )
50		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> +oo e. RR* )
52	32, 7, 39	omexrcl 38447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR* )
53		iccgelb 11716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
54	49, 51, 40, 53	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
55	12	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
56		iunss 4310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
57	55, 56	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
58	57	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
59	32, 7, 58	omexrcl 38447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
60		ssiun2 4312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
61	37, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
62	32, 7, 58, 61	omessle 38438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) <_ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) )
63	18	ltpnfd 11446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
64	63	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
65	52, 59, 51, 62, 64	xrlelttrd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) < +oo )
66	49, 51, 52, 54, 65	elicod 11710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67	47, 66	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
68	46, 67	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
69		omeiunltfirp.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. RR+ )
70	69	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
71	70	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
72	68, 71	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
73	72	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
74	73	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
75		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
76	66, 41	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo ) )
77	46, 76	sge0fsum 38343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) )
78		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
79		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( E ` n ) = ( E ` k ) )
80	79	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
81	80	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) /\ n = k ) -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
82		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> k e. z )
83		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O ` ( E ` k ) ) e. _V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( O ` ( E ` k ) ) e. _V )
85	78, 81, 82, 84	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
86	85	sumeq2dv 13846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) )
87		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( E ` k ) = ( E ` n ) )
88	87	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( O ` ( E ` k ) ) = ( O ` ( E ` n ) ) )
89	88	cbvsumv 13839	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
91	77, 86, 90	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
92	69	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR+ )
93	68, 92	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
94	91, 93	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
95	94	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
96	30, 44, 74, 75, 95	xrlttrd 11479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
97	21, 28, 96	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
98	97	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
99	98	adantlr 729	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
100	99	reximdva 2858	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
101	20, 100	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
102		simpl 464	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ph )
103		simpr 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
104	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. _V )
105	104, 15	sge0repnf 38342	. . . . 5 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
106	105	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
107	103, 106	mpbird 240	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
108		nfv 1769	. . . . . 6 |- F/ n ph
109		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ nΣ^
110		nfmpt1 4485	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
111	109, 110	nffv 5886	. . . . . . 7 |- F/_ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
112		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ n RR
113	111, 112	nfel 2624	. . . . . 6 |- F/ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR
114	108, 113	nfan 2031	. . . . 5 |- F/ n ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
115	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Z e. _V )
116	13	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
117	69	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Y e. RR+ )
118		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
119	114, 115, 116, 117, 118	sge0ltfirpmpt 38364	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
120	18	ad3antrrr 744	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
121	118	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
122	72	ad4ant13 1258	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
123		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ n E
124	108, 123, 5, 7, 1, 8	omeiunle 38457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
125	124	ad3antrrr 744	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
126		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
127		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ph )
128		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
129	128	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` m ) ) )
130	129	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) )
131	130	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) )
132	131	eleq1i 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
133	132	biimpi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
134	133	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
135		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
136	45	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
137	66	adantllr 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
138	136, 137	sge0fsummpt 38346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
139	127, 134, 135, 138	syl21anc 1291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
140	139	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
141	140	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
142	126, 141	breqtrd 4420	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
143	120, 121, 122, 125, 142	lelttrd 9810	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
144	143	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
145	144	reximdva 2858	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
146	119, 145	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
147	102, 107, 146	syl2anc 673	. 2 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
148	101, 147	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^{^}csumge0 38318  OutMeascome 38429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319  df-ome 38430

This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  38462