Theorem omclOLD 5217

Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57.

Assertion

Ref	Expression
omclOLD	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)

Proof of Theorem omclOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . 4 |- (x = (/) -> (A .o x) = (A .o (/)))
2	1	eleq1d 1963	. . 3 |- (x = (/) -> ((A .o x) e. On <-> (A .o (/)) e. On))
3		opreq2 4890	. . . 4 |- (x = y -> (A .o x) = (A .o y))
4	3	eleq1d 1963	. . 3 |- (x = y -> ((A .o x) e. On <-> (A .o y) e. On))
5		opreq2 4890	. . . 4 |- (x = suc y -> (A .o x) = (A .o suc y))
6	5	eleq1d 1963	. . 3 |- (x = suc y -> ((A .o x) e. On <-> (A .o suc y) e. On))
7		opreq2 4890	. . . 4 |- (x = B -> (A .o x) = (A .o B))
8	7	eleq1d 1963	. . 3 |- (x = B -> ((A .o x) e. On <-> (A .o B) e. On))
9		om0 5201	. . . 4 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))
10		0elon 3716	. . . 4 |- (/) e. On
11	9, 10	syl6eqel 1979	. . 3 |- (A e. On -> (A .o (/)) e. On)
12		omsuc 5210	. . . . . . . . 9 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
13	12	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ y e. On) -> ((A .o suc y) e. On <-> ((A .o y) +o A) e. On))
14		oacl 5215	. . . . . . . 8 |- (((A .o y) e. On /\ A e. On) -> ((A .o y) +o A) e. On)
15	13, 14	syl5bir 227	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (((A .o y) e. On /\ A e. On) -> (A .o suc y) e. On))
16	15	exp4b 410	. . . . . 6 |- (A e. On -> (y e. On -> ((A .o y) e. On -> (A e. On -> (A .o suc y) e. On))))
17	16	com24 41	. . . . 5 |- (A e. On -> (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (y e. On -> (A .o suc y) e. On))))
18	17	pm2.43i 78	. . . 4 |- (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (y e. On -> (A .o suc y) e. On)))
19	18	com3r 39	. . 3 |- (y e. On -> (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (A .o suc y) e. On)))
20		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
21		omlim 5213	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
22	20, 21	mpanr1 774	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ Lim x) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
23	22	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((Lim x /\ A e. On) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
24	23	eleq1d 1963	. . . . 5 |- ((Lim x /\ A e. On) -> ((A .o x) e. On <-> U_y e. x (A .o y) e. On))
25		oprex 4907	. . . . . 6 |- (A .o y) e. _V
26	20, 25	iunon 5114	. . . . 5 |- (A.y e. x (A .o y) e. On -> U_y e. x (A .o y) e. On)
27	24, 26	syl5bir 227	. . . 4 |- ((Lim x /\ A e. On) -> (A.y e. x (A .o y) e. On -> (A .o x) e. On))
28	27	ex 402	. . 3 |- (Lim x -> (A e. On -> (A.y e. x (A .o y) e. On -> (A .o x) e. On)))
29	2, 4, 6, 8, 11, 19, 28	tfinds3 3948	. 2 |- (B e. On -> (A e. On -> (A .o B) e. On))
30	29	impcom 378	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  U_ciun 3255  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  (class class class)co 4884   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain