Theorem omcan 4258

Description: Left cancellation law for ordinal multiplication. Proposition 8.20 of [TakeutiZaring] p. 63 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
omcan	|- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Proof of Theorem omcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omordi 4255	. . . . . . . . 9 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C)))
2	1	ex 380	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
3	2	ancoms 447	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
4	3	3adant2 810	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
5	4	imp 357	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C)))
6		omordi 4255	. . . . . . . . 9 |- (((B e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B)))
7	6	ex 380	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
8	7	ancoms 447	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
9	8	3adant3 811	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
10	9	imp 357	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B)))
11	5, 10	orim12d 576	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((B e. C \/ C e. B) -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
12	11	con3d 99	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (-. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B)) -> -. (B e. C \/ C e. B)))
13		ordtri3 3040	. . . . . 6 |- ((Ord (A .o B) /\ Ord (A .o C)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
14		omcl 4229	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)
15		eloni 3015	. . . . . . 7 |- ((A .o B) e. On -> Ord (A .o B))
16	14, 15	syl 10	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> Ord (A .o B))
17		omcl 4229	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ C e. On) -> (A .o C) e. On)
18		eloni 3015	. . . . . . 7 |- ((A .o C) e. On -> Ord (A .o C))
19	17, 18	syl 10	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ C e. On) -> Ord (A .o C))
20	13, 16, 19	syl2an 465	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (A e. On /\ C e. On)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
21	20	3impdi 892	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
22	21	adantr 398	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
23		ordtri3 3040	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ Ord C) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
24		eloni 3015	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
25		eloni 3015	. . . . . 6 |- (C e. On -> Ord C)
26	23, 24, 25	syl2an 465	. . . . 5 |- ((B e. On /\ C e. On) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
27	26	3adant1 809	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
28	27	adantr 398	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
29	12, 22, 28	3imtr4d 554	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
30		opreq2 4027	. 2 |- (B = C -> (A .o B) = (A .o C))
31	29, 30	impbid1 528	1 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999  (/)c0 2331  Ord word 3004  Oncon0 3005  (class class class)co 4021   .o comu 4189

This theorem is referenced by:  omword 4259  nnmcan 4306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-oadd 4193  df-omul 4194

Copyright terms: Public domain