Theorem omcan 5248

Description: Left cancellation law for ordinal multiplication. Proposition 8.20 of [TakeutiZaring] p. 63 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
omcan	|- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Proof of Theorem omcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omordi 5245	. . . . . . . . 9 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C)))
2	1	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
3	2	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
4	3	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
5	4	imp 377	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C)))
6		omordi 5245	. . . . . . . . 9 |- (((B e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B)))
7	6	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
8	7	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
9	8	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
10	9	imp 377	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B)))
11	5, 10	orim12d 624	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((B e. C \/ C e. B) -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
12	11	con3d 111	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (-. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B)) -> -. (B e. C \/ C e. B)))
13		ordtri3 3697	. . . . . 6 |- ((Ord (A .o B) /\ Ord (A .o C)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
14		omcl 5216	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)
15		eloni 3667	. . . . . . 7 |- ((A .o B) e. On -> Ord (A .o B))
16	14, 15	syl 12	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> Ord (A .o B))
17		omcl 5216	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ C e. On) -> (A .o C) e. On)
18		eloni 3667	. . . . . . 7 |- ((A .o C) e. On -> Ord (A .o C))
19	17, 18	syl 12	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ C e. On) -> Ord (A .o C))
20	13, 16, 19	syl2an 503	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (A e. On /\ C e. On)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
21	20	3impdi 1152	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
22	21	adantr 425	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
23		ordtri3 3697	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ Ord C) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
24		eloni 3667	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
25		eloni 3667	. . . . . 6 |- (C e. On -> Ord C)
26	23, 24, 25	syl2an 503	. . . . 5 |- ((B e. On /\ C e. On) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
27	26	3adant1 894	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
28	27	adantr 425	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
29	12, 22, 28	3imtr4d 602	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
30		opreq2 4890	. 2 |- (B = C -> (A .o B) = (A .o C))
31	29, 30	impbid1 575	1 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  Ord word 3656  Oncon0 3657  (class class class)co 4884   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  omword 5249  nnmcan 5305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain