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Theorem omass 7280
Description: Multiplication of ordinal numbers is associative. Theorem 8.26 of [TakeutiZaring] p. 65. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem omass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  (/) ) )
2 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
32oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2442 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
6 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
76oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2442 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y ) )
10 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1110oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2442 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
14 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1514oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2442 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
17 omcl 7237 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
18 om0 7218 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  B
)  .o  (/) )  =  (/) )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
20 om0 7218 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2120oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
22 om0 7218 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2321, 22sylan9eqr 2483 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  (/) )
2419, 23eqtr4d 2464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
25 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) )
26 omsuc 7227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) ) )
2717, 26stoic3 1656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  suc  y
)  =  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
28 omsuc 7227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
29283adant1 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
3029oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
31 omcl 7237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
32 odi 7279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
3331, 32syl3an2 1298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
34333exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) ) )
3534expd 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3635com34 86 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3736pm2.43d 50 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) )
38373imp 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
3930, 38eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4027, 39eqeq12d 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) )
4125, 40syl5ibr 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
42413exp 1204 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4342com3r 82 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4443impd 432 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
4517ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
46 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
47 omlim 7234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
4846, 47mpanr1 687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
4945, 48sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
5049an32s 811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
5150ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
52 iuneq2 4310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
53 limelon 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5446, 53mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
5554anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)
5655ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)
57 omordi 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  .o  y )  e.  ( B  .o  x ) ) )
5856, 57sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( y  e.  x  ->  ( B  .o  y
)  e.  ( B  .o  x ) ) )
59 ssid 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) )
60 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
6160sseq2d 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  .o  y )  ->  (
( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z )  <->  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
6261rspcev 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  .o  y
)  e.  ( B  .o  x )  /\  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) )
6359, 62mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  .o  y )  e.  ( B  .o  x )  ->  E. z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  ( A  .o  z ) )
6458, 63syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( y  e.  x  ->  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) ) )
6564ralrimiv 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) )
66 iunss2 4338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  x  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) )  C_  ( A  .o  z
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
6867adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z ) )
69 omcl 7237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  .o  x
)  e.  On )
7054, 69sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( B  .o  x )  e.  On )
71 onelon 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  .o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  -> 
z  e.  On )
7270, 71sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  -> 
z  e.  On )
7372adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  z  e.  On )
74 omordlim 7277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) )
7574ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) ) )
7646, 75mpanr1 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
z  e.  ( B  .o  x )  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y ) ) )
7776ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) ) )
78 onelon 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
7954, 78sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
8079, 31sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x ) )  -> 
( B  .o  y
)  e.  On )
81 onelss 5475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  .o  y )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  .o  y )  -> 
z  C_  ( B  .o  y ) ) )
82813ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  z  C_  ( B  .o  y ) ) )
83 omwordi 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) )
8482, 83syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
85843exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  .o  y
)  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) ) ) )
8680, 85syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x )
)  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
8786exp4d 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) ) ) )
8887imp32 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
8988com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
9089imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) )
9190reximdvai 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
)  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9277, 91syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9392exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  -> 
( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  x )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) ) ) )
9493imp4c 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9573, 94mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
9695ralrimiva 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  .o  x ) E. y  e.  x  ( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
97 iunss2 4338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( B  .o  x ) E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
9998adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
10068, 99eqssd 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
101 omlimcl 7278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  B )  ->  Lim  ( B  .o  x ) )
10246, 101mpanlr1 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  Lim  ( B  .o  x
) )
103 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  .o  x )  e. 
_V
104 omlim 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  .o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  .o  x ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
105103, 104mpanr1 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  .o  x
) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
106102, 105sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  (/)  e.  B
) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
107106ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  (/)  e.  B
)  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
108107an32s 811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
109100, 108eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
11052, 109sylan9eqr 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
11151, 110eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
112111exp31 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
113 eloni 5443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
114 ord0eln0 5487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
B  ->  ( (/)  e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
115114necon2bbid 2678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
B  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  B
) )
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  B
) )
117116ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  B ) )
118 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( A  .o  (/) ) )
119118, 22sylan9eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  .o  B
)  =  (/) )
120119oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( (/)  .o  x ) )
121 om0r 7240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
.o  x )  =  (/) )
122120, 121sylan9eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  =  (/) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  (/) )
123122anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  (/) )
124 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( (/)  .o  x
) )
125124, 121sylan9eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( B  .o  x
)  =  (/) )
126125oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
127126, 22sylan9eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  (/) )
128127an32s 811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  (/) )
129123, 128eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
130129ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
13154, 130sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) )
132131adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
133117, 132sylbird 238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
134133a1dd 47 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
135112, 134pm2.61d 161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
136135exp31 607 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) ) ) )
137136com3l 84 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) ) ) )
138137impd 432 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
1394, 8, 12, 16, 24, 44, 138tfinds3 6696 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
140139expd 437 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
141140com3l 84 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
1421413imp 1199 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   (/)c0 3758   U_ciun 4293   Ord word 5432   Oncon0 5433   Lim wlim 5434   suc csuc 5435  (class class class)co 6296    +o coa 7178    .o comu 7179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186
This theorem is referenced by:  oeoalem  7296  omabs  7347
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