MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omabslem Structured version   Unicode version

Theorem omabslem 7292
Description: Lemma for omabs 7293. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omabslem  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  om )  =  om )

Proof of Theorem omabslem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 6684 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 limom 6693 . . . . . . 7  |-  Lim  om
32jctr 542 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )
4 omlim 7180 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )  -> 
( A  .o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  .o  x ) )
51, 3, 4syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  .o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  .o  x ) )
6 ordom 6687 . . . . . . . . 9  |-  Ord  om
7 nnmcl 7258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  .o  x
)  e.  om )
8 ordelss 4894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  om  /\  ( A  .o  x )  e. 
om )  ->  ( A  .o  x )  C_  om )
96, 7, 8sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  .o  x
)  C_  om )
109ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om )
11 iunss 4366 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om  <->  A. x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om )
1210, 11sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  U_ x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  ->  U_ x  e.  om  ( A  .o  x
)  C_  om )
145, 13eqsstrd 3538 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  .o  om )  C_  om )
1514ancoms 453 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  om )  C_  om )
16153adant3 1016 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  om )  C_  om )
17 omword2 7220 . . . 4  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  om  C_  ( A  .o  om ) )
18173impa 1191 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  om  C_  ( A  .o  om ) )
191, 18syl3an2 1262 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  om  C_  ( A  .o  om ) )
2016, 19eqssd 3521 1  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  om )  =  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879  (class class class)co 6282   omcom 6678    .o comu 7125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132
This theorem is referenced by:  omabs  7293
  Copyright terms: Public domain W3C validator