MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omabs Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem omabs 7353
Description: Ordinal multiplication is also absorbed by powers of  om. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omabs  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B ) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om 
^o  B ) )

Proof of Theorem omabs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( om 
^o  x )  =  ( om  ^o  (/) ) )
32oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( A  .o  ( om  ^o  (/) ) ) )
43, 2eqeq12d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( om 
^o  x ) )  =  ( om  ^o  x )  <->  ( A  .o  ( om  ^o  (/) ) )  =  ( om  ^o  (/) ) ) )
51, 4imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
(/)  e.  x  ->  ( A  .o  ( om 
^o  x ) )  =  ( om  ^o  x ) )  <->  ( (/)  e.  (/)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  (/) ) )  =  ( om  ^o  (/) ) ) ) )
6 eleq2 2520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  y ) )
7 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  y
) )
87oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( A  .o  ( om  ^o  y ) ) )
98, 7eqeq12d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x )  <->  ( A  .o  ( om  ^o  y
) )  =  ( om  ^o  y ) ) )
106, 9imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( (/)  e.  x  -> 
( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x ) )  <->  ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y ) ) ) )
11 eleq2 2520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  e.  x  <->  (/)  e.  suc  y ) )
12 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( om  ^o  x
)  =  ( om 
^o  suc  y )
)
1312oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y
) ) )
1413, 12eqeq12d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om 
^o  x )  <->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y ) ) )
1511, 14imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( (/)  e.  x  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x ) )  <->  ( (/)  e.  suc  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y
) )  =  ( om  ^o  suc  y
) ) ) )
16 eleq2 2520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  B
) )
17 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  B
) )
1817oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( A  .o  ( om  ^o  B ) ) )
1918, 17eqeq12d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x )  <->  ( A  .o  ( om  ^o  B
) )  =  ( om  ^o  B ) ) )
2016, 19imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( (/)  e.  x  -> 
( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x ) )  <->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om  ^o  B ) ) ) )
21 noel 3737 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  (/)
2221pm2.21i 135 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  (/)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  (/) ) )  =  ( om  ^o  (/) ) )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  om  e.  On )  -> 
( (/)  e.  (/)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  (/) ) )  =  ( om  ^o  (/) ) ) )
24 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  om  e.  On )
25 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  A  e.  om )
26 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  (/)  e.  A
)
27 omabslem 7352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  om )  =  om )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( A  .o  om )  =  om )
2928adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On ) )  /\  y  =  (/) )  -> 
( A  .o  om )  =  om )
30 suceq 5491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
31 df-1o 7187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  =  suc  (/)
3230, 31syl6eqr 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  1o )
3332oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  (/)  ->  ( om 
^o  suc  y )  =  ( om  ^o  1o ) )
34 oe1 7250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
3534ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
3633, 35sylan9eqr 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On ) )  /\  y  =  (/) )  -> 
( om  ^o  suc  y )  =  om )
3736oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On ) )  /\  y  =  (/) )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( A  .o  om ) )
3829, 37, 363eqtr4d 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On ) )  /\  y  =  (/) )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om 
^o  suc  y )
)
3938ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( y  =  (/)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y ) ) )
4039a1dd 47 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( y  =  (/)  ->  ( ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y ) ) ) )
41 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  .o  ( om 
^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  ->  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  .o  om )  =  ( ( om  ^o  y )  .o  om ) )
42 oesuc 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( om  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( om  ^o  suc  y )  =  ( ( om  ^o  y
)  .o  om )
)
4342adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( om  ^o 
suc  y )  =  ( ( om  ^o  y )  .o  om ) )
4443oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( A  .o  (
( om  ^o  y
)  .o  om )
) )
45 nnon 6703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
4645ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  A  e.  On )
47 oecl 7244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( om  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( om  ^o  y
)  e.  On )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( om  ^o  y )  e.  On )
49 omass 7286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( om  ^o  y )  e.  On  /\  om  e.  On )  ->  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  .o  om )  =  ( A  .o  (
( om  ^o  y
)  .o  om )
) )
5046, 48, 24, 49syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  .o 
om )  =  ( A  .o  ( ( om  ^o  y )  .o  om ) ) )
5144, 50eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  .o  om )
)
5251, 43eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y )  <->  ( ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  .o 
om )  =  ( ( om  ^o  y
)  .o  om )
) )
5341, 52syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y ) ) )
5453imim2d 54 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  ->  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y ) ) ) )
5554com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( (/)  e.  y  ->  ( ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y ) ) ) )
56 simprr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  y  e.  On )
57 on0eqel 5543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  =  (/)  \/  (/)  e.  y ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( y  =  (/)  \/  (/)  e.  y ) )
5940, 55, 58mpjaod 383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om  ^o  suc  y ) ) )
6059a1dd 47 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  y  e.  On )
)  ->  ( ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  ->  ( (/) 
e.  suc  y  ->  ( A  .o  ( om 
^o  suc  y )
)  =  ( om 
^o  suc  y )
) ) )
6160anassrs 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  om  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  (
( (/)  e.  y  -> 
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )  -> 
( (/)  e.  suc  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om 
^o  suc  y )
) ) )
6261expcom 437 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  om  e.  On )  ->  ( (
(/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om 
^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )  -> 
( (/)  e.  suc  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  suc  y ) )  =  ( om 
^o  suc  y )
) ) ) )
6345ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  A  e.  On )
64 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  ->  om  e.  On )
65 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  ->  Lim  x )
66 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
6765, 66jctil 540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  -> 
( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )
68 limelon 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  ->  x  e.  On )
70 oecl 7244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( om  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( om  ^o  x
)  e.  On )
7164, 69, 70syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  -> 
( om  ^o  x
)  e.  On )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  x
)  e.  On )
73 1onn 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  om
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  ->  1o  e.  om )
75 ondif2 7209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
7664, 74, 75sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
7867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )
79 oelimcl 7306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( om  ^o  x ) )
8077, 78, 79syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  Lim  ( om  ^o  x
) )
81 omlim 7240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( om  ^o  x )  e.  On  /\ 
Lim  ( om  ^o  x ) ) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  U_ z  e.  ( om  ^o  x
) ( A  .o  z ) )
8263, 72, 80, 81syl12anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  U_ z  e.  ( om  ^o  x
) ( A  .o  z ) )
83 simplrl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  om  e.  On )
84 oelim2 7301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( om  ^o  x )  =  U_ y  e.  ( x  \  1o ) ( om 
^o  y ) )
8583, 78, 84syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  x
)  =  U_ y  e.  ( x  \  1o ) ( om  ^o  y ) )
8685eleq2d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( z  e.  ( om  ^o  x )  <-> 
z  e.  U_ y  e.  ( x  \  1o ) ( om  ^o  y ) ) )
87 eliun 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  U_ y  e.  ( x  \  1o ) ( om  ^o  y )  <->  E. y  e.  ( x  \  1o ) z  e.  ( om  ^o  y ) )
8886, 87syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( z  e.  ( om  ^o  x )  <->  E. y  e.  (
x  \  1o )
z  e.  ( om 
^o  y ) ) )
8969adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  x  e.  On )
90 anass 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  (/)  e.  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) )  <->  ( y  e.  x  /\  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) ) )
91 onelon 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
92 on0eln0 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  On  ->  ( (/) 
e.  y  <->  y  =/=  (/) ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( (/)  e.  y  <->  y  =/=  (/) ) )
9493pm5.32da 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  (/)  e.  y )  <-> 
( y  e.  x  /\  y  =/=  (/) ) ) )
95 dif1o 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( x  \  1o )  <->  ( y  e.  x  /\  y  =/=  (/) ) )
9694, 95syl6bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  (/)  e.  y )  <-> 
y  e.  ( x 
\  1o ) ) )
9796anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ( y  e.  x  /\  (/)  e.  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) )  <->  ( y  e.  ( x  \  1o )  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) ) )
9890, 97syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) )  <->  ( y  e.  ( x  \  1o )  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) ) )
9998rexbidv2 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  ( E. y  e.  x  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) )  <->  E. y  e.  ( x  \  1o ) z  e.  ( om  ^o  y ) ) )
10089, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( E. y  e.  x  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) )  <->  E. y  e.  ( x  \  1o ) z  e.  ( om 
^o  y ) ) )
10188, 100bitr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( z  e.  ( om  ^o  x )  <->  E. y  e.  x  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) ) )
102 r19.29 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  x  ( (/)  e.  y  -> 
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )  /\  E. y  e.  x  (
(/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) )  ->  E. y  e.  x  ( ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y ) )  /\  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) ) )
103 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
(/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om 
^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )  -> 
( (/)  e.  y  -> 
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) ) )
104103imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )  /\  (/) 
e.  y )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )
105104anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y ) )  /\  (/)  e.  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) )  ->  ( ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
)  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) )
106105anasss 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )  /\  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
)  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) )
10771ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  x
)  e.  On )
108 eloni 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( om  ^o  x )  e.  On  ->  Ord  ( om  ^o  x ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  ->  Ord  ( om  ^o  x
) )
110 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
z  e.  ( om 
^o  y ) )
11164ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  ->  om  e.  On )
11269ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  ->  x  e.  On )
113 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
y  e.  x )
114112, 113, 91syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
y  e.  On )
115111, 114, 47syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  y
)  e.  On )
116 onelon 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( om  ^o  y
)  e.  On  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) )  -> 
z  e.  On )
117115, 110, 116syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
z  e.  On )
11845ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  ->  A  e.  On )
119118ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  ->  A  e.  On )
120 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  ->  (/) 
e.  A )
121120ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  ->  (/) 
e.  A )
122 omord2 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( om  ^o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  ( om  ^o  y
)  <->  ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  ( om 
^o  y ) ) ) )
123117, 115, 119, 121, 122syl31anc 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( z  e.  ( om  ^o  y )  <-> 
( A  .o  z
)  e.  ( A  .o  ( om  ^o  y ) ) ) )
124110, 123mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  z
)  e.  ( A  .o  ( om  ^o  y ) ) )
125 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y ) )
126124, 125eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  z
)  e.  ( om 
^o  y ) )
12776ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
128 oeord 7294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  om  e.  ( On  \  2o ) )  ->  (
y  e.  x  <->  ( om  ^o  y )  e.  ( om  ^o  x ) ) )
129114, 112, 127, 128syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( y  e.  x  <->  ( om  ^o  y )  e.  ( om  ^o  x ) ) )
130113, 129mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  y
)  e.  ( om 
^o  x ) )
131 ontr1 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( om  ^o  x )  e.  On  ->  (
( ( A  .o  z )  e.  ( om  ^o  y )  /\  ( om  ^o  y )  e.  ( om  ^o  x ) )  ->  ( A  .o  z )  e.  ( om  ^o  x ) ) )
132107, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( ( ( A  .o  z )  e.  ( om  ^o  y
)  /\  ( om  ^o  y )  e.  ( om  ^o  x ) )  ->  ( A  .o  z )  e.  ( om  ^o  x ) ) )
133126, 130, 132mp2and 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  z
)  e.  ( om 
^o  x ) )
134 ordelss 5442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Ord  ( om  ^o  x )  /\  ( A  .o  z )  e.  ( om  ^o  x
) )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( om  ^o  x ) )
135109, 133, 134syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  /\  (
( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( om  ^o  x ) )
136135ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y )  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( om  ^o  x ) ) )
137106, 136syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y ) )  /\  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( om  ^o  x ) ) )
138137rexlimdva 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  -> 
( E. y  e.  x  ( ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  /\  ( (/) 
e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( om  ^o  x ) ) )
139102, 138syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  -> 
( ( A. y  e.  x  ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y ) )  /\  E. y  e.  x  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) ) )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( om  ^o  x ) ) )
140139expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( E. y  e.  x  ( (/)  e.  y  /\  z  e.  ( om  ^o  y ) )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( om  ^o  x ) ) )
141101, 140sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( z  e.  ( om  ^o  x )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( om  ^o  x ) ) )
142141ralrimiv 2802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  A. z  e.  ( om  ^o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  ( om  ^o  x ) )
143 iunss 4322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ z  e.  ( om  ^o  x ) ( A  .o  z )  C_  ( om  ^o  x )  <->  A. z  e.  ( om  ^o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  ( om  ^o  x ) )
144142, 143sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  U_ z  e.  ( om  ^o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  ( om  ^o  x ) )
14582, 144eqsstrd 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  x ) ) 
C_  ( om  ^o  x ) )
146 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  ->  (/) 
e.  A )
147 omword2 7280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( om  ^o  x )  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( om  ^o  x )  C_  ( A  .o  ( om  ^o  x ) ) )
14872, 63, 146, 147syl21anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  x
)  C_  ( A  .o  ( om  ^o  x
) ) )
149145, 148eqssd 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x
) )  /\  A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) ) )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x ) )
150149ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  x ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y ) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om 
^o  x ) ) )
151150anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  om  e.  On )  /\  Lim  x
)  ->  ( A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x
) ) )
152151a1dd 47 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  om  e.  On )  /\  Lim  x
)  ->  ( A. y  e.  x  ( (/) 
e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om  ^o  y
) )  ->  ( (/) 
e.  x  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x
) ) ) )
153152expcom 437 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  om  e.  On )  -> 
( A. y  e.  x  ( (/)  e.  y  ->  ( A  .o  ( om  ^o  y ) )  =  ( om 
^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  x  ->  ( A  .o  ( om  ^o  x ) )  =  ( om  ^o  x ) ) ) ) )
1545, 10, 15, 20, 23, 62, 153tfinds3 6696 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  om  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om  ^o  B
) ) ) )
155154com12 32 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  om  e.  On )  -> 
( B  e.  On  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om  ^o  B ) ) ) )
156155adantrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( om  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( B  e.  On  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om  ^o  B ) ) ) )
157156imp32 435 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( om  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B ) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om 
^o  B ) )
158157an32s 814 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B
) )  /\  ( om  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om  ^o  B ) )
159 nnm0 7311 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
160159ad3antrrr 737 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B
) )  /\  -.  ( om  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
161 fnoe 7217 . . . . . . 7  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )
162 fndm 5680 . . . . . . 7  |-  (  ^o  Fn  ( On  X.  On )  ->  dom  ^o  =  ( On  X.  On ) )
163161, 162ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  ^o  =  ( On  X.  On )
164163ndmov 6458 . . . . 5  |-  ( -.  ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  ^o  B )  =  (/) )
165164adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B
) )  /\  -.  ( om  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( om  ^o  B )  =  (/) )
166165oveq2d 6311 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B
) )  /\  -.  ( om  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B
) )  =  ( A  .o  (/) ) )
167160, 166, 1653eqtr4d 2497 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B
) )  /\  -.  ( om  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B
) )  =  ( om  ^o  B ) )
168158, 167pm2.61dan 801 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A )  /\  ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B ) )  ->  ( A  .o  ( om  ^o  B ) )  =  ( om 
^o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3733   U_ciun 4281    X. cxp 4835   dom cdm 4837   Ord word 5425   Oncon0 5426   Lim wlim 5427   suc csuc 5428    Fn wfn 5580  (class class class)co 6295   omcom 6697   1oc1o 7180   2oc2o 7181    .o comu 7185    ^o coe 7186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-oexp 7193
This theorem is referenced by:  cnfcom3  8214
  Copyright terms: Public domain W3C validator