MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzuzi Structured version   Unicode version

Theorem om2uzuzi 11963
Description: The value  G (see om2uz0i 11961) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzuzi  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzuzi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5774 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
21eleq1d 2451 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
3 fveq2 5774 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
43eleq1d 2451 . 2  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
5 fveq2 5774 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
65eleq1d 2451 . 2  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
7 fveq2 5774 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
87eleq1d 2451 . 2  |-  ( y  =  A  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
9 om2uz.1 . . . 4  |-  C  e.  ZZ
10 om2uz.2 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
119, 10om2uz0i 11961 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  C
12 uzid 11015 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
139, 12ax-mp 5 . . 3  |-  C  e.  ( ZZ>= `  C )
1411, 13eqeltri 2466 . 2  |-  ( G `
 (/) )  e.  (
ZZ>= `  C )
15 peano2uz 11054 . . 3  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
169, 10om2uzsuci 11962 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `
 z )  +  1 ) )
1716eleq1d 2451 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1815, 17syl5ibr 221 . 2  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
192, 4, 6, 8, 14, 18finds 6625 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   (/)c0 3711    |-> cmpt 4425   suc csuc 4794    |` cres 4915   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   omcom 6599   reccrdg 6993   1c1 9404    + caddc 9406   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002
This theorem is referenced by:  om2uzlti  11964  om2uzlt2i  11965  om2uzrani  11966  om2uzf1oi  11967  uzrdgfni  11972  uzrdgxfr  11980  unbenlem  14428
  Copyright terms: Public domain W3C validator