MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzuzi Structured version   Unicode version

Theorem om2uzuzi 11873
Description: The value  G (see om2uz0i 11871) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzuzi  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzuzi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5789 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
21eleq1d 2520 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
3 fveq2 5789 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
43eleq1d 2520 . 2  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
5 fveq2 5789 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
65eleq1d 2520 . 2  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
7 fveq2 5789 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
87eleq1d 2520 . 2  |-  ( y  =  A  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
9 om2uz.1 . . . 4  |-  C  e.  ZZ
10 om2uz.2 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
119, 10om2uz0i 11871 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  C
12 uzid 10976 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
139, 12ax-mp 5 . . 3  |-  C  e.  ( ZZ>= `  C )
1411, 13eqeltri 2535 . 2  |-  ( G `
 (/) )  e.  (
ZZ>= `  C )
15 peano2uz 11009 . . 3  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
169, 10om2uzsuci 11872 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `
 z )  +  1 ) )
1716eleq1d 2520 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1815, 17syl5ibr 221 . 2  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
192, 4, 6, 8, 14, 18finds 6602 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   (/)c0 3735    |-> cmpt 4448   suc csuc 4819    |` cres 4940   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   omcom 6576   reccrdg 6965   1c1 9384    + caddc 9386   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963
This theorem is referenced by:  om2uzlti  11874  om2uzlt2i  11875  om2uzrani  11876  om2uzf1oi  11877  uzrdgfni  11882  uzrdgxfr  11890  unbenlem  14071
  Copyright terms: Public domain W3C validator