MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzuzi Structured version   Unicode version

Theorem om2uzuzi 11768
Description: The value  G (see om2uz0i 11766) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzuzi  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzuzi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
21eleq1d 2507 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
3 fveq2 5688 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
43eleq1d 2507 . 2  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
5 fveq2 5688 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
65eleq1d 2507 . 2  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
7 fveq2 5688 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
87eleq1d 2507 . 2  |-  ( y  =  A  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
9 om2uz.1 . . . 4  |-  C  e.  ZZ
10 om2uz.2 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
119, 10om2uz0i 11766 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  C
12 uzid 10871 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
139, 12ax-mp 5 . . 3  |-  C  e.  ( ZZ>= `  C )
1411, 13eqeltri 2511 . 2  |-  ( G `
 (/) )  e.  (
ZZ>= `  C )
15 peano2uz 10904 . . 3  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
169, 10om2uzsuci 11767 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `
 z )  +  1 ) )
1716eleq1d 2507 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1815, 17syl5ibr 221 . 2  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
192, 4, 6, 8, 14, 18finds 6501 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   (/)c0 3634    e. cmpt 4347   suc csuc 4717    |` cres 4838   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475   reccrdg 6861   1c1 9279    + caddc 9281   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858
This theorem is referenced by:  om2uzlti  11769  om2uzlt2i  11770  om2uzrani  11771  om2uzf1oi  11772  uzrdgfni  11777  uzrdgxfr  11785  unbenlem  13965
  Copyright terms: Public domain W3C validator