Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzrdg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem om2uzrdg 12208
 Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either or ) with characteristic function and initial value . Normally is a function on the partition, and is a member of the partition. See also comment in om2uz0i 12199. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1
om2uz.2
uzrdg.1
uzrdg.2
Assertion
Ref Expression
om2uzrdg
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem om2uzrdg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . 3
2 fveq2 5879 . . . 4
31fveq2d 5883 . . . 4
42, 3opeq12d 4166 . . 3
51, 4eqeq12d 2486 . 2
6 fveq2 5879 . . 3
7 fveq2 5879 . . . 4
86fveq2d 5883 . . . 4
97, 8opeq12d 4166 . . 3
106, 9eqeq12d 2486 . 2
11 fveq2 5879 . . 3
12 fveq2 5879 . . . 4
1311fveq2d 5883 . . . 4
1412, 13opeq12d 4166 . . 3
1511, 14eqeq12d 2486 . 2
16 fveq2 5879 . . 3
17 fveq2 5879 . . . 4
1816fveq2d 5883 . . . 4
1917, 18opeq12d 4166 . . 3
2016, 19eqeq12d 2486 . 2
21 uzrdg.2 . . . . 5
2221fveq1i 5880 . . . 4
23 opex 4664 . . . . 5
24 fr0g 7171 . . . . 5
2523, 24ax-mp 5 . . . 4
2622, 25eqtri 2493 . . 3
27 om2uz.1 . . . . 5
28 om2uz.2 . . . . 5
2927, 28om2uz0i 12199 . . . 4
3026fveq2i 5882 . . . . 5
3127elexi 3041 . . . . . 6
32 uzrdg.1 . . . . . 6
3331, 32op2nd 6821 . . . . 5
3430, 33eqtri 2493 . . . 4
3529, 34opeq12i 4163 . . 3
3626, 35eqtr4i 2496 . 2
37 frsuc 7172 . . . . . 6
3821fveq1i 5880 . . . . . 6
3921fveq1i 5880 . . . . . . 7
4039fveq2i 5882 . . . . . 6
4137, 38, 403eqtr4g 2530 . . . . 5
42 fveq2 5879 . . . . . 6
43 df-ov 6311 . . . . . . 7
44 fvex 5889 . . . . . . . 8
45 fvex 5889 . . . . . . . 8
46 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
47 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
4846, 47opeq12d 4166 . . . . . . . . 9
49 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
5049opeq2d 4165 . . . . . . . . 9
51 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
52 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
5351, 52opeq12d 4166 . . . . . . . . . 10
54 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
5554opeq2d 4165 . . . . . . . . . 10
5653, 55cbvmpt2v 6390 . . . . . . . . 9
57 opex 4664 . . . . . . . . 9
5848, 50, 56, 57ovmpt2 6451 . . . . . . . 8
5944, 45, 58mp2an 686 . . . . . . 7
6043, 59eqtr3i 2495 . . . . . 6
6142, 60syl6eq 2521 . . . . 5
6241, 61sylan9eq 2525 . . . 4
6327, 28om2uzsuci 12200 . . . . . 6
6463adantr 472 . . . . 5
6562fveq2d 5883 . . . . . 6
66 ovex 6336 . . . . . . 7
67 ovex 6336 . . . . . . 7
6866, 67op2nd 6821 . . . . . 6
6965, 68syl6eq 2521 . . . . 5
7064, 69opeq12d 4166 . . . 4
7162, 70eqtr4d 2508 . . 3
7271ex 441 . 2
735, 10, 15, 20, 36, 72finds 6738 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031  c0 3722  cop 3965   cmpt 4454   cres 4841   csuc 5432  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  com 6711  c2nd 6811  crdg 7145  c1 9558   caddc 9560  cz 10961 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146 This theorem is referenced by:  uzrdglem  12209  uzrdgfni  12210  uzrdgsuci  12212
 Copyright terms: Public domain W3C validator