MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzrani Structured version   Unicode version

Theorem om2uzrani 11885
Description: Range of  G (see om2uz0i 11880). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzrani  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzrani
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6993 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om
2 om2uz.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
32fneq1i 5606 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 209 . . . . 5  |-  G  Fn  om
5 fvelrnb 5841 . . . . 5  |-  ( G  Fn  om  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y )
7 om2uz.1 . . . . . . 7  |-  C  e.  ZZ
87, 2om2uzuzi 11882 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
9 eleq1 2523 . . . . . 6  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
108, 9syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  z
)  =  y  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
1110rexlimiv 2934 . . . 4  |-  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
)
126, 11sylbi 195 . . 3  |-  ( y  e.  ran  G  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  C ) )
13 eleq1 2523 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  ran  G  <->  C  e.  ran  G ) )
14 eleq1 2523 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  ran  G  <->  y  e.  ran  G ) )
15 eleq1 2523 . . . 4  |-  ( z  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  e.  ran  G  <->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
167, 2om2uz0i 11880 . . . . 5  |-  ( G `
 (/) )  =  C
17 peano1 6598 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
18 fnfvelrn 5942 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
194, 17, 18mp2an 672 . . . . 5  |-  ( G `
 (/) )  e.  ran  G
2016, 19eqeltrri 2536 . . . 4  |-  C  e. 
ran  G
217, 2om2uzsuci 11881 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `
 z )  +  1 ) )
22 oveq1 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
2321, 22sylan9eq 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( G `  z )  =  y )  -> 
( G `  suc  z )  =  ( y  +  1 ) )
24 peano2 6599 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  om )
25 fnfvelrn 5942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  om  /\  suc  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
264, 24, 25sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( G `  z )  =  y )  -> 
( G `  suc  z )  e.  ran  G )
2823, 27eqeltrrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( G `  z )  =  y )  -> 
( y  +  1 )  e.  ran  G
)
2928rexlimiva 2935 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  ( y  +  1 )  e. 
ran  G )
306, 29sylbi 195 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  G  -> 
( y  +  1 )  e.  ran  G
)
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( y  e.  ran  G  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
327, 13, 14, 15, 14, 20, 31uzind4i 11020 . . 3  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  y  e.  ran  G )
3312, 32impbii 188 . 2  |-  ( y  e.  ran  G  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
)
3433eqriv 2447 1  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   _Vcvv 3071   (/)c0 3738    |-> cmpt 4451   suc csuc 4822   ran crn 4942    |` cres 4943    Fn wfn 5514   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   omcom 6579   reccrdg 6968   1c1 9387    + caddc 9389   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966
This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  11886
  Copyright terms: Public domain W3C validator