Theorem om2uzrani 7711

Description: Range of G (see om2uz0i 7706).

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzrani	|- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   x,C,y,z

Proof of Theorem om2uzrani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 5159	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om
2		om2uz.2	. . . . . . 7 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3	2	fneq1i 4507	. . . . . 6 |- (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om)
4	1, 3	mpbir 207	. . . . 5 |- G Fn om
5		fvelrnb 4719	. . . . 5 |- (G Fn om -> (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u)
7		eleq1 1957	. . . . . 6 |- ((G` w) = u -> ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
8		om2uz.1	. . . . . . 7 |- C e. ZZ
9	8, 2	om2uzuzi 7708	. . . . . 6 |- (w e. om -> (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z})
10	7, 9	syl5cbi 226	. . . . 5 |- (w e. om -> ((G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
11	10	r19.23aiv 2211	. . . 4 |- (E.w e. om (G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
12	6, 11	sylbi 216	. . 3 |- (u e. ran G -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
13		breq2 3342	. . . . 5 |- (z = u -> (C <_ z <-> C <_ u))
14	13	elrab 2414	. . . 4 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (u e. ZZ /\ C <_ u))
15		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (w = C -> (w e. ran G <-> C e. ran G))
16		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (w = v -> (w e. ran G <-> v e. ran G))
17		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (w = (v + 1) -> (w e. ran G <-> (v + 1) e. ran G))
18		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (w = u -> (w e. ran G <-> u e. ran G))
19	8, 2	om2uz0i 7706	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) = C
20		peano1 3971	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
21		fnfvelrn 4786	. . . . . . . . 9 |- ((G Fn om /\ (/) e. om) -> (G` (/)) e. ran G)
22	4, 20, 21	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) e. ran G
23	19, 22	eqeltrri 1968	. . . . . . 7 |- C e. ran G
24	23	a1i 8	. . . . . 6 |- (C e. ZZ -> C e. ran G)
25		fvelrnb 4719	. . . . . . . . 9 |- (G Fn om -> (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v))
26	4, 25	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v)
27	8, 2	om2uzsuci 7707	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
28		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- ((G` w) = v -> ((G` w) + 1) = (v + 1))
29	27, 28	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) = (v + 1))
30		fnfvelrn 4786	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G Fn om /\ suc w e. om) -> (G` suc w) e. ran G)
31		peano2 3972	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. om -> suc w e. om)
32	30, 4, 31	sylancr 526	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) e. ran G)
33	32	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) e. ran G)
34	29, 33	eqeltrrd 1972	. . . . . . . . 9 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (v + 1) e. ran G)
35	34	r19.23aiva 2212	. . . . . . . 8 |- (E.w e. om (G` w) = v -> (v + 1) e. ran G)
36	26, 35	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G)
37	36	a1i 8	. . . . . 6 |- ((C e. ZZ /\ v e. ZZ /\ C <_ v) -> (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G))
38	15, 16, 17, 18, 24, 37	uzind 7417	. . . . 5 |- ((C e. ZZ /\ u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
39	8, 38	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
40	14, 39	sylbi 216	. . 3 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} -> u e. ran G)
41	12, 40	impbii 174	. 2 |- (u e. ran G <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
42	41	eqriv 1881	1 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949  ran crn 3987   |` cres 3988   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  om2uzf1oi 7712  uzrdgvali 7714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain