MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzrani Structured version   Unicode version

Theorem om2uzrani 12102
Description: Range of  G (see om2uz0i 12097). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzrani  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzrani
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7136 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om
2 om2uz.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
32fneq1i 5655 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 209 . . . . 5  |-  G  Fn  om
5 fvelrnb 5895 . . . . 5  |-  ( G  Fn  om  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y )
7 om2uz.1 . . . . . . 7  |-  C  e.  ZZ
87, 2om2uzuzi 12099 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
9 eleq1 2474 . . . . . 6  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
108, 9syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  z
)  =  y  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
1110rexlimiv 2889 . . . 4  |-  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
)
126, 11sylbi 195 . . 3  |-  ( y  e.  ran  G  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  C ) )
13 eleq1 2474 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  ran  G  <->  C  e.  ran  G ) )
14 eleq1 2474 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  ran  G  <->  y  e.  ran  G ) )
15 eleq1 2474 . . . 4  |-  ( z  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  e.  ran  G  <->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
167, 2om2uz0i 12097 . . . . 5  |-  ( G `
 (/) )  =  C
17 peano1 6702 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
18 fnfvelrn 6005 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
194, 17, 18mp2an 670 . . . . 5  |-  ( G `
 (/) )  e.  ran  G
2016, 19eqeltrri 2487 . . . 4  |-  C  e. 
ran  G
217, 2om2uzsuci 12098 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `
 z )  +  1 ) )
22 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
2321, 22sylan9eq 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( G `  z )  =  y )  -> 
( G `  suc  z )  =  ( y  +  1 ) )
24 peano2 6703 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  om )
25 fnfvelrn 6005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  om  /\  suc  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
264, 24, 25sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
2726adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( G `  z )  =  y )  -> 
( G `  suc  z )  e.  ran  G )
2823, 27eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( G `  z )  =  y )  -> 
( y  +  1 )  e.  ran  G
)
2928rexlimiva 2891 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  ( y  +  1 )  e. 
ran  G )
306, 29sylbi 195 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  G  -> 
( y  +  1 )  e.  ran  G
)
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( y  e.  ran  G  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
327, 13, 14, 15, 14, 20, 31uzind4i 11188 . . 3  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  y  e.  ran  G )
3312, 32impbii 188 . 2  |-  ( y  e.  ran  G  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
)
3433eqriv 2398 1  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   (/)c0 3737    |-> cmpt 4452   ran crn 4823    |` cres 4824   suc csuc 5411    Fn wfn 5563   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   omcom 6682   reccrdg 7111   1c1 9522    + caddc 9524   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127
This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  12103
  Copyright terms: Public domain W3C validator