MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzoi Structured version   Unicode version

Theorem om2uzoi 12069
Description: An alternative definition of  G in terms of df-oi 7953. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzoi  |-  G  = OrdIso
(  <  ,  ( ZZ>=
`  C ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzoi
StepHypRef Expression
1 ordom 6708 . . . 4  |-  Ord  om
2 om2uz.1 . . . . 5  |-  C  e.  ZZ
3 om2uz.2 . . . . 5  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
42, 3om2uzisoi 12068 . . . 4  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) )
51, 4pm3.2i 455 . . 3  |-  ( Ord 
om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) ) )
6 ordwe 4900 . . . . . 6  |-  ( Ord 
om  ->  _E  We  om )
71, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  _E  We  om
8 isowe 6246 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  -> 
(  _E  We  om  <->  < 
We  ( ZZ>= `  C
) ) )
94, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _E  We  om  <->  <  We  ( ZZ>=
`  C ) )
107, 9mpbi 208 . . . 4  |-  <  We  ( ZZ>= `  C )
11 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  C )  e.  _V
12 exse 4852 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  C )  e. 
_V  ->  < Se  ( ZZ>= `  C ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  < Se  ( ZZ>=
`  C )
14 eqid 2457 . . . . 5  |- OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C
) )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C
) )
1514oieu 7982 . . . 4  |-  ( (  <  We  ( ZZ>= `  C )  /\  < Se  (
ZZ>= `  C ) )  ->  ( ( Ord 
om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) ) )  <->  ( om  =  dom OrdIso (  <  , 
( ZZ>= `  C )
)  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) ) ) ) )
1610, 13, 15mp2an 672 . . 3  |-  ( ( Ord  om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )  <-> 
( om  =  dom OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) )  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C )
) ) )
175, 16mpbi 208 . 2  |-  ( om  =  dom OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C )
)  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
1817simpri 462 1  |-  G  = OrdIso
(  <  ,  ( ZZ>=
`  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    |-> cmpt 4515    _E cep 4798   Se wse 4845    We wwe 4846   Ord word 4886   dom cdm 5008    |` cres 5010   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6296   omcom 6699   reccrdg 7093  OrdIsocoi 7952   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-oi 7953  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107
This theorem is referenced by:  ltbwe  18264
  Copyright terms: Public domain W3C validator