Theorem om2uzlti 7709

Description: Less-than relation for G (see om2uz0i 7706).

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlti	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B -> (G` A) < (G` B)))

Distinct variable group:   x,y,C

Proof of Theorem om2uzlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . . 5 |- (v = (/) -> (A e. v <-> A e. (/)))
2		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (v = (/) -> (G` v) = (G` (/)))
3	2	breq2d 3350	. . . . 5 |- (v = (/) -> ((G` A) < (G` v) <-> (G` A) < (G` (/))))
4	1, 3	imbi12d 688	. . . 4 |- (v = (/) -> ((A e. v -> (G` A) < (G` v)) <-> (A e. (/) -> (G` A) < (G` (/)))))
5	4	imbi2d 674	. . 3 |- (v = (/) -> ((A e. om -> (A e. v -> (G` A) < (G` v))) <-> (A e. om -> (A e. (/) -> (G` A) < (G` (/))))))
6		eleq2 1958	. . . . 5 |- (v = w -> (A e. v <-> A e. w))
7		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (v = w -> (G` v) = (G` w))
8	7	breq2d 3350	. . . . 5 |- (v = w -> ((G` A) < (G` v) <-> (G` A) < (G` w)))
9	6, 8	imbi12d 688	. . . 4 |- (v = w -> ((A e. v -> (G` A) < (G` v)) <-> (A e. w -> (G` A) < (G` w))))
10	9	imbi2d 674	. . 3 |- (v = w -> ((A e. om -> (A e. v -> (G` A) < (G` v))) <-> (A e. om -> (A e. w -> (G` A) < (G` w)))))
11		eleq2 1958	. . . . 5 |- (v = suc w -> (A e. v <-> A e. suc w))
12		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (v = suc w -> (G` v) = (G` suc w))
13	12	breq2d 3350	. . . . 5 |- (v = suc w -> ((G` A) < (G` v) <-> (G` A) < (G` suc w)))
14	11, 13	imbi12d 688	. . . 4 |- (v = suc w -> ((A e. v -> (G` A) < (G` v)) <-> (A e. suc w -> (G` A) < (G` suc w))))
15	14	imbi2d 674	. . 3 |- (v = suc w -> ((A e. om -> (A e. v -> (G` A) < (G` v))) <-> (A e. om -> (A e. suc w -> (G` A) < (G` suc w)))))
16		eleq2 1958	. . . . 5 |- (v = B -> (A e. v <-> A e. B))
17		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (v = B -> (G` v) = (G` B))
18	17	breq2d 3350	. . . . 5 |- (v = B -> ((G` A) < (G` v) <-> (G` A) < (G` B)))
19	16, 18	imbi12d 688	. . . 4 |- (v = B -> ((A e. v -> (G` A) < (G` v)) <-> (A e. B -> (G` A) < (G` B))))
20	19	imbi2d 674	. . 3 |- (v = B -> ((A e. om -> (A e. v -> (G` A) < (G` v))) <-> (A e. om -> (A e. B -> (G` A) < (G` B)))))
21		noel 2879	. . . . 5 |- -. A e. (/)
22	21	pm2.21i 93	. . . 4 |- (A e. (/) -> (G` A) < (G` (/)))
23	22	a1i 8	. . 3 |- (A e. om -> (A e. (/) -> (G` A) < (G` (/))))
24		elsuc2g 3733	. . . . . . . . 9 |- (w e. om -> (A e. suc w <-> (A e. w \/ A = w)))
25	24	bicomd 580	. . . . . . . 8 |- (w e. om -> ((A e. w \/ A = w) <-> A e. suc w))
26	25	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ w e. om) -> ((A e. w \/ A = w) <-> A e. suc w))
27		om2uz.1	. . . . . . . . . . 11 |- C e. ZZ
28		om2uz.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
29	27, 28	om2uzsuci 7707	. . . . . . . . . 10 |- (w e. om -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
30	29	breq2d 3350	. . . . . . . . 9 |- (w e. om -> ((G` A) < (G` suc w) <-> (G` A) < ((G` w) + 1)))
31	30	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ w e. om) -> ((G` A) < (G` suc w) <-> (G` A) < ((G` w) + 1)))
32		zleltp1 7391	. . . . . . . . . 10 |- (((G` A) e. ZZ /\ (G` w) e. ZZ) -> ((G` A) <_ (G` w) <-> (G` A) < ((G` w) + 1)))
33		ssrab2 2692	. . . . . . . . . . 11 |- {z e. ZZ | C <_ z} C_ ZZ
34	33	sseli 2617	. . . . . . . . . 10 |- ((G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` A) e. ZZ)
35	33	sseli 2617	. . . . . . . . . 10 |- ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` w) e. ZZ)
36	32, 34, 35	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- (((G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z} /\ (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z}) -> ((G` A) <_ (G` w) <-> (G` A) < ((G` w) + 1)))
37	27, 28	om2uzuzi 7708	. . . . . . . . 9 |- (A e. om -> (G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z})
38	27, 28	om2uzuzi 7708	. . . . . . . . 9 |- (w e. om -> (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z})
39	36, 37, 38	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ w e. om) -> ((G` A) <_ (G` w) <-> (G` A) < ((G` w) + 1)))
40		leloe 6688	. . . . . . . . 9 |- (((G` A) e. RR /\ (G` w) e. RR) -> ((G` A) <_ (G` w) <-> ((G` A) < (G` w) \/ (G` A) = (G` w))))
41		zre 7348	. . . . . . . . . 10 |- ((G` A) e. ZZ -> (G` A) e. RR)
42	37, 34, 41	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (A e. om -> (G` A) e. RR)
43		zre 7348	. . . . . . . . . 10 |- ((G` w) e. ZZ -> (G` w) e. RR)
44	38, 35, 43	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (w e. om -> (G` w) e. RR)
45	40, 42, 44	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ w e. om) -> ((G` A) <_ (G` w) <-> ((G` A) < (G` w) \/ (G` A) = (G` w))))
46	31, 39, 45	3bitr2rd 606	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ w e. om) -> (((G` A) < (G` w) \/ (G` A) = (G` w)) <-> (G` A) < (G` suc w)))
47	26, 46	imbi12d 688	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ w e. om) -> (((A e. w \/ A = w) -> ((G` A) < (G` w) \/ (G` A) = (G` w))) <-> (A e. suc w -> (G` A) < (G` suc w))))
48		id 73	. . . . . . 7 |- ((A e. w -> (G` A) < (G` w)) -> (A e. w -> (G` A) < (G` w)))
49		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (A = w -> (G` A) = (G` w))
50	49	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((A e. w -> (G` A) < (G` w)) -> (A = w -> (G` A) = (G` w)))
51	48, 50	orim12d 624	. . . . . 6 |- ((A e. w -> (G` A) < (G` w)) -> ((A e. w \/ A = w) -> ((G` A) < (G` w) \/ (G` A) = (G` w))))
52	47, 51	syl5bi 225	. . . . 5 |- ((A e. om /\ w e. om) -> ((A e. w -> (G` A) < (G` w)) -> (A e. suc w -> (G` A) < (G` suc w))))
53	52	expcom 403	. . . 4 |- (w e. om -> (A e. om -> ((A e. w -> (G` A) < (G` w)) -> (A e. suc w -> (G` A) < (G` suc w)))))
54	53	a2d 16	. . 3 |- (w e. om -> ((A e. om -> (A e. w -> (G` A) < (G` w))) -> (A e. om -> (A e. suc w -> (G` A) < (G` suc w)))))
55	5, 10, 15, 20, 23, 54	finds 3979	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (A e. B -> (G` A) < (G` B))))
56	55	impcom 378	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B -> (G` A) < (G` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  om2uzlt2i 7710  om2uzf1oi 7712

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain