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Theorem om2uzlti 12019
Description: Less-than relation for  G (see om2uz0i 12016). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzlti  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzlti
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2535 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  (/) ) )
2 fveq2 5859 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( G `
 z )  =  ( G `  (/) ) )
32breq2d 4454 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) )
41, 3imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) )  <->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  e.  om  ->  ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) ) )  <-> 
( A  e.  om  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) ) ) )
6 eleq2 2535 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
7 fveq2 5859 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
87breq2d 4454 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
96, 8imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) )
109imbi2d 316 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `
 A )  < 
( G `  y
) ) ) ) )
11 eleq2 2535 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A  e.  z  <-> 
A  e.  suc  y
) )
12 fveq2 5859 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 suc  y )
)
1312breq2d 4454 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
1411, 13imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . 3  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( A  e. 
om  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
16 eleq2 2535 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  B ) )
17 fveq2 5859 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( G `  z )  =  ( G `  B ) )
1817breq2d 4454 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
1916, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
2019imbi2d 316 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `
 A )  < 
( G `  B
) ) ) ) )
21 noel 3784 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
2221pm2.21i 131 . . . 4  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) )
2322a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) )
24 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
25 fveq2 5859 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) )
2724, 26orim12d 835 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
28 elsuc2g 4941 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  <->  ( A  e.  y  \/  A  =  y ) ) )
2928bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
3029adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
31 om2uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e.  ZZ
32 om2uz.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
3331, 32om2uzsuci 12017 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  suc  y )  =  ( ( G `
 y )  +  1 ) )
3433breq2d 4454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  suc  y )  <-> 
( G `  A
)  <  ( ( G `  y )  +  1 ) ) )
3631, 32om2uzuzi 12018 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
3731, 32om2uzuzi 12018 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
38 eluzelz 11082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
39 eluzelz 11082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
40 zleltp1 10904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( G `  A )  <  ( ( G `
 y )  +  1 ) ) )
4138, 39, 40syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4236, 37, 41syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( G `  A )  <  ( ( G `
 y )  +  1 ) ) )
4336, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
4443zred 10957 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  RR )
4537, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
4645zred 10957 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  RR )
47 leloe 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  y )  e.  RR )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
4844, 46, 47syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
4935, 42, 483bitr2rd 282 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( G `
 A )  < 
( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
5030, 49imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  -> 
( ( G `  A )  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A
)  =  ( G `
 y ) ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5127, 50syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
)  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5251expcom 435 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
)  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
5352a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
545, 10, 15, 20, 23, 53finds 6699 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) ) )
5554impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   (/)c0 3780   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   suc csuc 4875    |` cres 4996   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   omcom 6673   reccrdg 7067   RRcr 9482   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074
This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  12020  om2uzf1oi  12022
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