MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlt2i Structured version   Unicode version

Theorem om2uzlt2i 12029
Description: The mapping  G (see om2uz0i 12025) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzlt2i  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzlt2i
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3  |-  C  e.  ZZ
2 om2uz.2 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
31, 2om2uzlti 12028 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
41, 2om2uzlti 12028 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( G `  B
)  <  ( G `  A ) ) )
5 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( G `  B )  =  ( G `  A ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( B  =  A  ->  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) )
74, 6orim12d 836 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  ->  (
( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
87ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  ->  (
( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
9 nnon 6685 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
10 nnon 6685 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
11 onsseleq 4919 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  e.  A  \/  B  =  A )
) )
12 ontri1 4912 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  -.  A  e.  B ) )
1311, 12bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  <->  -.  A  e.  B ) )
149, 10, 13syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  <->  -.  A  e.  B ) )
151, 2om2uzuzi 12027 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( G `  B )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
16 eluzelre 11091 . . . . 5  |-  ( ( G `  B )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  B )  e.  RR )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( G `  B )  e.  RR )
181, 2om2uzuzi 12027 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
19 eluzelre 11091 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  RR )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  RR )
21 leloe 9670 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( G `  B )  <_  ( G `  A )  <->  ( ( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
22 lenlt 9662 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( G `  B )  <_  ( G `  A )  <->  -.  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
2321, 22bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( G `
 B )  < 
( G `  A
)  \/  ( G `
 B )  =  ( G `  A
) )  <->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
2417, 20, 23syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( ( G `
 B )  < 
( G `  A
)  \/  ( G `
 B )  =  ( G `  A
) )  <->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
258, 14, 243imtr3d 267 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  B  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
263, 25impcon4bid 205 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878    |` cres 5001   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   omcom 6679   reccrdg 7075   RRcr 9490   1c1 9492    + caddc 9494    < clt 9627    <_ cle 9628   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  12032  unbenlem  14284
  Copyright terms: Public domain W3C validator