MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzf1oi Structured version   Unicode version

Theorem om2uzf1oi 11776
Description:  G (see om2uz0i 11770) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzf1oi  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzf1oi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6890 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om
2 om2uz.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
32fneq1i 5505 . . . . 5  |-  ( G  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 209 . . . 4  |-  G  Fn  om
5 om2uz.1 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
65, 2om2uzrani 11775 . . . . 5  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
76eqimssi 3410 . . . 4  |-  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
8 df-f 5422 . . . 4  |-  ( G : om --> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G  Fn  om  /\  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
) )
94, 7, 8mpbir2an 911 . . 3  |-  G : om
--> ( ZZ>= `  C )
105, 2om2uzuzi 11772 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
11 eluzelz 10870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1312zred 10747 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  RR )
145, 2om2uzuzi 11772 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
15 eluzelz 10870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1716zred 10747 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  RR )
18 lttri3 9458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  e.  RR )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
1913, 17, 18syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
20 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) )  <->  ( -.  ( G `  y )  <  ( G `  z )  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y ) ) )
2119, 20syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <->  -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) ) ) )
22 nnord 6484 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
23 nnord 6484 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
24 ordtri3 4755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  z )  ->  (
y  =  z  <->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2522, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2625con2bid 329 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  <->  -.  y  =  z ) )
275, 2om2uzlti 11773 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  e.  z  ->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
285, 2om2uzlti 11773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
2928ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
3027, 29orim12d 834 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
3126, 30sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  y  =  z  ->  ( ( G `  y )  <  ( G `  z
)  \/  ( G `
 z )  < 
( G `  y
) ) ) )
3231con1d 124 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) )  ->  y  =  z ) )
3321, 32sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
3433rgen2a 2782 . . 3  |-  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z )
35 dff13 5971 . . 3  |-  ( G : om -1-1-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om --> ( ZZ>= `  C
)  /\  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
369, 34, 35mpbir2an 911 . 2  |-  G : om
-1-1-> ( ZZ>= `  C )
37 dff1o5 5650 . 2  |-  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C )  /\  ran  G  =  ( ZZ>= `  C ) ) )
3836, 6, 37mpbir2an 911 1  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   Ord word 4718   ran crn 4841    |` cres 4842    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476   reccrdg 6865   RRcr 9281   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  11777  uzrdglem  11780  uzrdgfni  11781  uzrdgsuci  11783  uzenom  11787  fzennn  11790  cardfz  11792  hashgf1o  11793  axdc4uzlem  11804  unbenlem  13969
  Copyright terms: Public domain W3C validator