MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzf1oi Structured version   Unicode version

Theorem om2uzf1oi 12066
Description:  G (see om2uz0i 12060) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzf1oi  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzf1oi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7118 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om
2 om2uz.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
32fneq1i 5681 . . . . 5  |-  ( G  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 209 . . . 4  |-  G  Fn  om
5 om2uz.1 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
65, 2om2uzrani 12065 . . . . 5  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
76eqimssi 3553 . . . 4  |-  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
8 df-f 5598 . . . 4  |-  ( G : om --> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G  Fn  om  /\  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
) )
94, 7, 8mpbir2an 920 . . 3  |-  G : om
--> ( ZZ>= `  C )
105, 2om2uzuzi 12062 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
11 eluzelz 11115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1312zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  RR )
145, 2om2uzuzi 12062 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
15 eluzelz 11115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1716zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  RR )
18 lttri3 9685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  e.  RR )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
1913, 17, 18syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
20 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) )  <->  ( -.  ( G `  y )  <  ( G `  z )  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y ) ) )
2119, 20syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <->  -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) ) ) )
22 nnord 6707 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
23 nnord 6707 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
24 ordtri3 4923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  z )  ->  (
y  =  z  <->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2522, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2625con2bid 329 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  <->  -.  y  =  z ) )
275, 2om2uzlti 12063 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  e.  z  ->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
285, 2om2uzlti 12063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
2928ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
3027, 29orim12d 838 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
3126, 30sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  y  =  z  ->  ( ( G `  y )  <  ( G `  z
)  \/  ( G `
 z )  < 
( G `  y
) ) ) )
3231con1d 124 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) )  ->  y  =  z ) )
3321, 32sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
3433rgen2a 2884 . . 3  |-  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z )
35 dff13 6167 . . 3  |-  ( G : om -1-1-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om --> ( ZZ>= `  C
)  /\  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
369, 34, 35mpbir2an 920 . 2  |-  G : om
-1-1-> ( ZZ>= `  C )
37 dff1o5 5831 . 2  |-  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C )  /\  ran  G  =  ( ZZ>= `  C ) ) )
3836, 6, 37mpbir2an 920 1  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   Ord word 4886   ran crn 5009    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699   reccrdg 7093   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  12067  uzrdglem  12070  uzrdgfni  12071  uzrdgsuci  12073  uzenom  12077  fzennn  12080  cardfz  12082  hashgf1o  12083  axdc4uzlem  12094  unbenlem  14437
  Copyright terms: Public domain W3C validator