Theorem om1r 5224

Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
om1r	|- (A e. On -> (1o .o A) = A)

Proof of Theorem om1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . 3 |- (x = (/) -> (1o .o x) = (1o .o (/)))
2		id 73	. . 3 |- (x = (/) -> x = (/))
3	1, 2	eqeq12d 1899	. 2 |- (x = (/) -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o (/)) = (/)))
4		opreq2 4890	. . 3 |- (x = y -> (1o .o x) = (1o .o y))
5		id 73	. . 3 |- (x = y -> x = y)
6	4, 5	eqeq12d 1899	. 2 |- (x = y -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o y) = y))
7		opreq2 4890	. . 3 |- (x = suc y -> (1o .o x) = (1o .o suc y))
8		id 73	. . 3 |- (x = suc y -> x = suc y)
9	7, 8	eqeq12d 1899	. 2 |- (x = suc y -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o suc y) = suc y))
10		opreq2 4890	. . 3 |- (x = A -> (1o .o x) = (1o .o A))
11		id 73	. . 3 |- (x = A -> x = A)
12	10, 11	eqeq12d 1899	. 2 |- (x = A -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o A) = A))
13		1on 5182	. . 3 |- 1o e. On
14		om0 5201	. . 3 |- (1o e. On -> (1o .o (/)) = (/))
15	13, 14	ax-mp 7	. 2 |- (1o .o (/)) = (/)
16		omsuc 5210	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ y e. On) -> (1o .o suc y) = ((1o .o y) +o 1o))
17	13, 16	mpan 759	. . . . 5 |- (y e. On -> (1o .o suc y) = ((1o .o y) +o 1o))
18		opreq1 4889	. . . . 5 |- ((1o .o y) = y -> ((1o .o y) +o 1o) = (y +o 1o))
19	17, 18	sylan9eq 1948	. . . 4 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (1o .o suc y) = (y +o 1o))
20		oa1suc 5209	. . . . 5 |- (y e. On -> (y +o 1o) = suc y)
21	20	adantr 425	. . . 4 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (y +o 1o) = suc y)
22	19, 21	eqtrd 1925	. . 3 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (1o .o suc y) = suc y)
23	22	ex 402	. 2 |- (y e. On -> ((1o .o y) = y -> (1o .o suc y) = suc y))
24		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
25		omlim 5213	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
26	13, 25	mpan 759	. . . . 5 |- ((x e. _V /\ Lim x) -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
27	24, 26	mpan 759	. . . 4 |- (Lim x -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
28		limuni 3724	. . . 4 |- (Lim x -> x = U.x)
29	27, 28	eqeq12d 1899	. . 3 |- (Lim x -> ((1o .o x) = x <-> U_y e. x (1o .o y) = U.x))
30		iuneq2 3273	. . . 4 |- (A.y e. x (1o .o y) = y -> U_y e. x (1o .o y) = U_y e. x y)
31		uniiun 3306	. . . 4 |- U.x = U_y e. x y
32	30, 31	syl6eqr 1946	. . 3 |- (A.y e. x (1o .o y) = y -> U_y e. x (1o .o y) = U.x)
33	29, 32	syl5bir 227	. 2 |- (Lim x -> (A.y e. x (1o .o y) = y -> (1o .o x) = x))
34	3, 6, 9, 12, 15, 23, 33	tfinds 3942	1 |- (A e. On -> (1o .o A) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  U.cuni 3177  U_ciun 3255  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  oe1 5225  omword2 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain