MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1plusg Structured version   Unicode version

Theorem om1plusg 20708
Description: The group operation (which isn't much more than a magma) of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
om1bas.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
om1bas.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
om1plusg  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  O ) )

Proof of Theorem om1plusg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om1bas.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
2 om1bas.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 om1bas.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  O ) )
51, 2, 3, 4om1bas 20705 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
6 eqidd 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( *p
`  J ) )
7 eqidd 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  ^ko  II )  =  ( J  ^ko  II ) )
81, 5, 6, 7, 2, 3om1val 20704 . . 3  |-  ( ph  ->  O  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( Base `  O
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J
) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } )
98fveq2d 5779 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  O
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  O ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } ) )
10 fvex 5785 . . 3  |-  ( *p
`  J )  e. 
_V
11 eqid 2450 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( Base `  O
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J
) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  O ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. }
1211topgrpplusg 14417 . . 3  |-  ( ( *p `  J )  e.  _V  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  O ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } ) )
1310, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( *p
`  J )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  O ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } )
149, 13syl6reqr 2509 1  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054   {ctp 3965   <.cop 3967   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   ndxcnx 14259   Basecbs 14262   +g cplusg 14326  TopSetcts 14332  TopOnctopon 18601    ^ko cxko 19236   IIcii 20553   *pcpco 20674    Om1 comi 20675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-plusg 14339  df-tset 14345  df-topon 18608  df-om1 20680
This theorem is referenced by:  pi1cpbl  20718  pi1addf  20721  pi1addval  20722  pi1grplem  20723
  Copyright terms: Public domain W3C validator