MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1opn Structured version   Unicode version

Theorem om1opn 20726
Description: The topology of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
om1bas.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
om1bas.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
om1opn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  O )
om1opn.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
om1opn  |-  ( ph  ->  K  =  ( ( J  ^ko  II )t  B ) )

Proof of Theorem om1opn
StepHypRef Expression
1 om1bas.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
2 om1bas.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 om1bas.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
41, 2, 3om1tset 20725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  ^ko  II )  =  (TopSet `  O ) )
5 om1opn.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
64, 5oveq12d 6210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J  ^ko  II )t  B )  =  ( (TopSet `  O )t  ( Base `  O
) ) )
7 om1opn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen `  O )
8 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
9 eqid 2451 . . . 4  |-  (TopSet `  O )  =  (TopSet `  O )
108, 9topnval 14477 . . 3  |-  ( (TopSet `  O )t  ( Base `  O
) )  =  (
TopOpen `  O )
117, 10eqtr4i 2483 . 2  |-  K  =  ( (TopSet `  O
)t  ( Base `  O
) )
126, 11syl6reqr 2511 1  |-  ( ph  ->  K  =  ( ( J  ^ko  II )t  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278  TopSetcts 14348   ↾t crest 14463   TopOpenctopn 14464  TopOnctopon 18617    ^ko cxko 19252   IIcii 20569    Om1 comi 20691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-tset 14361  df-rest 14465  df-topn 14466  df-topon 18624  df-om1 20696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator