MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1bas Structured version   Unicode version

Theorem om1bas 21657
Description: The base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
om1bas.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
om1bas.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
om1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
om1bas  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
Distinct variable groups:    f, J    ph, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    B( f)    O( f)

Proof of Theorem om1bas
StepHypRef Expression
1 om1bas.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
2 om1bas.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
3 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) }  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } )
4 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( *p
`  J ) )
5 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  ^ko  II )  =  ( J  ^ko  II ) )
6 om1bas.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 om1bas.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
82, 3, 4, 5, 6, 7om1val 21656 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } )
98fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } ) )
101, 9eqtrd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } ) )
11 ovex 6324 . . . 4  |-  ( II 
Cn  J )  e. 
_V
1211rabex 4607 . . 3  |-  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) }  e.  _V
13 eqid 2457 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. }
1413topgrpbas 14806 . . 3  |-  ( { f  e.  ( II 
Cn  J )  |  ( ( f ` 
0 )  =  Y  /\  ( f ` 
1 )  =  Y ) }  e.  _V  ->  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } ) )
1512, 14ax-mp 5 . 2  |-  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ko  II ) >. } )
1610, 15syl6eqr 2516 1  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   {ctp 4036   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   +g cplusg 14712  TopSetcts 14718  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852    ^ko cxko 20188   IIcii 21505   *pcpco 21626    Om1 comi 21627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-topon 19529  df-om1 21632
This theorem is referenced by:  om1elbas  21658  om1plusg  21660  om1tset  21661
  Copyright terms: Public domain W3C validator