MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0r Structured version   Unicode version

Theorem om0r 7092
Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om0r  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )

Proof of Theorem om0r
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6211 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  .o  x )  =  (
(/)  .o  (/) ) )
21eqeq1d 2456 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
(/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  (/) )  =  (/) ) )
3 oveq2 6211 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  y
) )
43eqeq1d 2456 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  y
)  =  (/) ) )
5 oveq2 6211 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  .o  x )  =  ( (/)  .o  suc  y ) )
65eqeq1d 2456 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( (/)  .o  x
)  =  (/)  <->  ( (/)  .o  suc  y )  =  (/) ) )
7 oveq2 6211 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  A
) )
87eqeq1d 2456 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  A
)  =  (/) ) )
9 om0x 7072 . 2  |-  ( (/)  .o  (/) )  =  (/)
10 oveq1 6210 . . 3  |-  ( (
(/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  ( (/) 
+o  (/) ) )
11 0elon 4883 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
12 omsuc 7079 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
1311, 12mpan 670 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
14 oa0 7069 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  +o  (/) )  =  (/) )
1511, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  +o  (/) )  =  (/)
1615eqcomi 2467 . . . . 5  |-  (/)  =  (
(/)  +o  (/) )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (/)  =  (
(/)  +o  (/) ) )
1813, 17eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( (/)  .o  suc  y
)  =  (/)  <->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  ( (/) 
+o  (/) ) ) )
1910, 18syl5ibr 221 . 2  |-  ( y  e.  On  ->  (
( (/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( (/)  .o 
suc  y )  =  (/) ) )
20 iuneq2 4298 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  U_ y  e.  x  (/) )
21 iun0 4337 . . . 4  |-  U_ y  e.  x  (/)  =  (/)
2220, 21syl6eq 2511 . . 3  |-  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  (/) )
23 vex 3081 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
24 omlim 7086 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  -> 
( (/)  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y
) )
2511, 24mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( (/) 
.o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y ) )
2623, 25mpan 670 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y
) )
2726eqeq1d 2456 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( ( (/) 
.o  x )  =  (/) 
<-> 
U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  (/) ) )
2822, 27syl5ibr 221 . 2  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  ( (/)  .o  x
)  =  (/) ) )
292, 4, 6, 8, 9, 19, 28tfinds 6583 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   U_ciun 4282   Oncon0 4830   Lim wlim 4831   suc csuc 4832  (class class class)co 6203    +o coa 7030    .o comu 7031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-omul 7038
This theorem is referenced by:  omord  7120  omwordi  7123  om00  7127  odi  7131  omass  7132  oeoa  7149  omxpenlem  7525
  Copyright terms: Public domain W3C validator