Theorem om00el 5255

Description: The product of two nonzero ordinal numbers is nonzero.

Assertion

Ref	Expression
om00el	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> ((/) e. A /\ (/) e. B)))

Proof of Theorem om00el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om00 5254	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) = (/) <-> (A = (/) \/ B = (/))))
2	1	necon3abid 2033	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) =/= (/) <-> -. (A = (/) \/ B = (/))))
3		omcl 5216	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)
4		on0eln0 3718	. . 3 |- ((A .o B) e. On -> ((/) e. (A .o B) <-> (A .o B) =/= (/)))
5	3, 4	syl 12	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> (A .o B) =/= (/)))
6		on0eln0 3718	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
7		on0eln0 3718	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> B =/= (/)))
8	6, 7	bi2anan9 694	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) e. A /\ (/) e. B) <-> (A =/= (/) /\ B =/= (/))))
9		neanior 2097	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ B =/= (/)) <-> -. (A = (/) \/ B = (/)))
10	8, 9	syl6bb 595	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) e. A /\ (/) e. B) <-> -. (A = (/) \/ B = (/))))
11	2, 5, 10	3bitr4d 609	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> ((/) e. A /\ (/) e. B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  Oncon0 3657  (class class class)co 4884   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  odi 5258  oeoe 5274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain