Theorem om0 7169

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
om0	|- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = (/) )

Proof of Theorem om0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4921	. . 3 |- (/) e. On
2		omv 7164	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. On ) -> ( A .o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) )
3	1, 2	mpan2 671	. 2 |- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) )
4		0ex 4567	. . 3 |- (/) e. _V
5	4	rdg0 7089	. 2 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/)
6	3, 5	syl6eq 2500	1 |- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1383   e. wcel 1804   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   |-> cmpt 4495   Oncon0 4868   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   reccrdg 7077   +o coa 7129   .o comu 7130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-omul 7137

This theorem is referenced by:  om0x  7171  oesuclem  7177  omcl  7188  om1  7193  omwordri  7223  om00  7226  odi  7230  omass  7231  oen0  7237  oeoa  7248  oeoelem  7249  oeeui  7253  nnm0  7256  cantnfle  8093  cantnfp1  8103  cantnfleOLD  8123  cantnfp1OLD  8129