Theorem om0 4214

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
om0	|- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Proof of Theorem om0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3079	. . 3 |- (/) e. On
2		omv 4209	. . 3 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
3	1, 2	mpan2 708	. 2 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
4		0ex 2766	. . 3 |- (/) e. V
5	4	rdg0 3999	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)) = (/)
6	3, 5	syl6eq 1570	1 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 997   e. wcel 999  (/)c0 2331  {copab 2721  Oncon0 3005  ` cfv 3239  reccrdg 3989  (class class class)co 4021   +o coa 4188   .o comu 4189

This theorem is referenced by:  om0x 4216  oesuc 4224  omcl 4229  om0r 4232  om1 4234  om1r 4235  omwordri 4261  om00 4264  odi 4268  omass 4269  oen0 4271  nnm0 4282  nneob 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-omul 4194

Copyright terms: Public domain