Theorem om0 7070

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
om0	|- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = (/) )

Proof of Theorem om0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4883	. . 3 |- (/) e. On
2		omv 7065	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. On ) -> ( A .o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) )
3	1, 2	mpan2 671	. 2 |- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) )
4		0ex 4533	. . 3 |- (/) e. _V
5	4	rdg0 6990	. 2 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/)
6	3, 5	syl6eq 2511	1 |- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   |-> cmpt 4461   Oncon0 4830   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   reccrdg 6978   +o coa 7030   .o comu 7031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-omul 7038

This theorem is referenced by:  om0x  7072  oesuclem  7078  omcl  7089  om1  7094  omwordri  7124  om00  7127  odi  7131  omass  7132  oen0  7138  oeoa  7149  oeoelem  7150  oeeui  7154  nnm0  7157  cantnfle  7993  cantnfp1  8003  cantnfleOLD  8023  cantnfp1OLD  8029