Theorem olmass 16954

Description: Ortholattice meet is associative. (This can also be proved for lattices with a longer proof.) (Th. inass 2804 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
olmass.b	|- B = (base` K)
olmass.m	|- M = (meet` K)

Assertion

Ref	Expression
olmass	|- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XMY)MZ) = (XM(YMZ)))

Proof of Theorem olmass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . 4 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> K e. OL)
2		ollat 16940	. . . . . 6 |- (K e. OL -> K e. LatNEW)
3	2	adantr 425	. . . . 5 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> K e. LatNEW)
4		olop 16941	. . . . . . 7 |- (K e. OL -> K e. OP)
5	4	adantr 425	. . . . . 6 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> K e. OP)
6		simpr1 882	. . . . . 6 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> X e. B)
7		olmass.b	. . . . . . 7 |- B = (base` K)
8		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (oc` K) = (oc` K)
9	7, 8	opoccl 16921	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> ((oc` K)` X) e. B)
10	5, 6, 9	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` X) e. B)
11		simpr2 883	. . . . . 6 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> Y e. B)
12	7, 8	opoccl 16921	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> ((oc` K)` Y) e. B)
13	5, 11, 12	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` Y) e. B)
14		eqid 1884	. . . . . 6 |- (join` K) = (join` K)
15	7, 14	latjcl 16852	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B) -> (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)) e. B)
16	3, 10, 13, 15	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)) e. B)
17		simpr3 884	. . . 4 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> Z e. B)
18		olmass.m	. . . . 5 |- M = (meet` K)
19	7, 14, 18, 8	oldmj3 16952	. . . 4 |- ((K e. OL /\ (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)) e. B /\ Z e. B) -> ((oc` K)` ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(join` K)((oc` K)` Z))) = (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))MZ))
20	1, 16, 17, 19	syl111anc 1100	. . 3 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(join` K)((oc` K)` Z))) = (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))MZ))
21	7, 8	opoccl 16921	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ Z e. B) -> ((oc` K)` Z) e. B)
22	5, 17, 21	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` Z) e. B)
23	7, 14	latjass 16886	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ (((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B)) -> ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(join` K)((oc` K)` Z)) = (((oc` K)` X)(join` K)(((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z))))
24	3, 10, 13, 22, 23	syl13anc 1102	. . . 4 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(join` K)((oc` K)` Z)) = (((oc` K)` X)(join` K)(((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z))))
25	24	fveq2d 4685	. . 3 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(join` K)((oc` K)` Z))) = ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)(((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)))))
26	7, 14, 18, 8	oldmj4 16953	. . . . 5 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))) = (XMY))
27	26	3adant3r3 1079	. . . 4 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))) = (XMY))
28	27	opreq1d 4897	. . 3 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))MZ) = ((XMY)MZ))
29	20, 25, 28	3eqtr3rd 1936	. 2 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XMY)MZ) = ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)(((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)))))
30	7, 14	latjcl 16852	. . . 4 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` Y) e. B /\ ((oc` K)` Z) e. B) -> (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)) e. B)
31	3, 13, 22, 30	syl111anc 1100	. . 3 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)) e. B)
32	7, 14, 18, 8	oldmj2 16951	. . 3 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)) e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)(((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)))) = (XM((oc` K)` (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)))))
33	1, 6, 31, 32	syl111anc 1100	. 2 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)(((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)))) = (XM((oc` K)` (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)))))
34	7, 14, 18, 8	oldmj4 16953	. . . 4 |- ((K e. OL /\ Y e. B /\ Z e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z))) = (YMZ))
35	34	3adant3r1 1077	. . 3 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((oc` K)` (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z))) = (YMZ))
36	35	opreq2d 4898	. 2 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> (XM((oc` K)` (((oc` K)` Y)(join` K)((oc` K)` Z)))) = (XM(YMZ)))
37	29, 33, 36	3eqtrd 1929	1 |- ((K e. OL /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((XMY)MZ) = (XM(YMZ)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  joincjn 16766  meetcmee 16767  LatNEWclat 16834  occoc 16836  OPcops 16837  OLcol 16839

This theorem is referenced by:  latm12 16955  latm4 16956  cmtcomlem 16969  cmtbr3 16975  omlfh1 16978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-ol 16907

Copyright terms: Public domain