Theorem olm0 16958

Description: Meet with lattice zero is zero. (Th. chm0 11047 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm0.b	|- B = (base` K)
olm0.m	|- M = (meet` K)
olm0.z	|- Z = (0.` K)

Assertion

Ref	Expression
olm0	|- ((K e. OL /\ X e. B) -> (XMZ) = Z)

Proof of Theorem olm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olm0.b	. 2 |- B = (base` K)
2		eqid 1884	. 2 |- (le` K) = (le` K)
3		ollat 16940	. . 3 |- (K e. OL -> K e. LatNEW)
4	3	adantr 425	. 2 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> K e. LatNEW)
5		simpr 350	. . 3 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> X e. B)
6		olop 16941	. . . . 5 |- (K e. OL -> K e. OP)
7	6	adantr 425	. . . 4 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> K e. OP)
8		olm0.z	. . . . 5 |- Z = (0.` K)
9	1, 8	op0cl 16914	. . . 4 |- (K e. OP -> Z e. B)
10	7, 9	syl 12	. . 3 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> Z e. B)
11		olm0.m	. . . 4 |- M = (meet` K)
12	1, 11	latmcl 16853	. . 3 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Z e. B) -> (XMZ) e. B)
13	4, 5, 10, 12	syl111anc 1100	. 2 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> (XMZ) e. B)
14	1, 2, 11	latmle2 16872	. . 3 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Z e. B) -> (XMZ)(le` K)Z)
15	4, 5, 10, 14	syl111anc 1100	. 2 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> (XMZ)(le` K)Z)
16	1, 2, 11	latlem12 16873	. . . 4 |- ((K e. LatNEW /\ (Z e. B /\ X e. B /\ Z e. B)) -> ((Z(le` K)X /\ Z(le` K)Z) <-> Z(le` K)(XMZ)))
17	4, 10, 5, 10, 16	syl13anc 1102	. . 3 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> ((Z(le` K)X /\ Z(le` K)Z) <-> Z(le` K)(XMZ)))
18	1, 2, 8	op0le 16916	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> Z(le` K)X)
19	18, 6	sylan 497	. . 3 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> Z(le` K)X)
20	1, 2	latref 16855	. . . 4 |- ((K e. LatNEW /\ Z e. B) -> Z(le` K)Z)
21	4, 10, 20	syl11anc 524	. . 3 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> Z(le` K)Z)
22	17, 19, 21	mpbi2and 801	. 2 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> Z(le` K)(XMZ))
23	1, 2, 4, 13, 10, 15, 22	latasymd 16859	1 |- ((K e. OL /\ X e. B) -> (XMZ) = Z)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  meetcmee 16767  0.cp0 16832  LatNEWclat 16834  OPcops 16837  OLcol 16839

This theorem is referenced by:  omlfh1 16978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-glb 16800  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-ol 16907

Copyright terms: Public domain