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Theorem oldmm1 32492
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 27013 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmm1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmm1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2429 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 ollat 32488 . . 3  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
433ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 olop 32489 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
653ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
7 oldmm1.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
81, 7latmcl 16249 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
93, 8syl3an1 1297 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
10 oldmm1.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
111, 10opoccl 32469 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 665 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  e.  B )
131, 10opoccl 32469 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
145, 13sylan 473 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
15143adant3 1025 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
161, 10opoccl 32469 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
175, 16sylan 473 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
18173adant2 1024 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
19 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
201, 19latjcl 16248 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
214, 15, 18, 20syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
221, 2, 19latlej1 16257 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
234, 15, 18, 22syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
24 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
251, 2, 10oplecon1b 32476 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X ) )
266, 24, 21, 25syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) X ) )
2723, 26mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X )
281, 2, 19latlej2 16258 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
294, 15, 18, 28syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
30 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
311, 2, 10oplecon1b 32476 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y ) )
326, 30, 21, 31syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) Y ) )
3329, 32mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )
341, 10opoccl 32469 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B )
356, 21, 34syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  e.  B
)
361, 2, 7latlem12 16275 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
374, 35, 24, 30, 36syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
3827, 33, 37mpbi2and 929 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
391, 2, 10oplecon1b 32476 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( (  ._|_  `  X ) 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
406, 21, 9, 39syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  <->  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
4138, 40mpbid 213 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
421, 2, 7latmle1 16273 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
433, 42syl3an1 1297 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
441, 2, 10oplecon3b 32475 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
456, 9, 24, 44syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
4643, 45mpbid 213 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
471, 2, 7latmle2 16274 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
483, 47syl3an1 1297 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
491, 2, 10oplecon3b 32475 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
506, 9, 30, 49syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 213 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
521, 2, 19latjle12 16259 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B
) )  ->  (
( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y
) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
534, 15, 18, 12, 52syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5446, 51, 53mpbi2and 929 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )
551, 2, 4, 12, 21, 41, 54latasymd 16254 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   occoc 15160   joincjn 16140   meetcmee 16141   Latclat 16242   OPcops 32447   OLcol 32449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-lat 16243  df-oposet 32451  df-ol 32453
This theorem is referenced by:  oldmm2  32493  oldmm3N  32494  cmtcomlemN  32523  cmtbr2N  32528  omlfh1N  32533  cvrexch  32694  lhpmod2i2  33312  lhpmod6i1  33313  doca2N  34403  djajN  34414
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