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Theorem oldmm1 34032
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 26147 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmm1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmm1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2467 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 ollat 34028 . . 3  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
433ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 olop 34029 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
653ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
7 oldmm1.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
81, 7latmcl 15539 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
93, 8syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
10 oldmm1.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
111, 10opoccl 34009 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  e.  B )
131, 10opoccl 34009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
145, 13sylan 471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
15143adant3 1016 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
161, 10opoccl 34009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
175, 16sylan 471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
18173adant2 1015 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
19 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
201, 19latjcl 15538 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
214, 15, 18, 20syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
221, 2, 19latlej1 15547 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
234, 15, 18, 22syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
24 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
251, 2, 10oplecon1b 34016 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X ) )
266, 24, 21, 25syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) X ) )
2723, 26mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X )
281, 2, 19latlej2 15548 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
294, 15, 18, 28syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
30 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
311, 2, 10oplecon1b 34016 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y ) )
326, 30, 21, 31syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) Y ) )
3329, 32mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )
341, 10opoccl 34009 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B )
356, 21, 34syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  e.  B
)
361, 2, 7latlem12 15565 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
374, 35, 24, 30, 36syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
3827, 33, 37mpbi2and 919 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
391, 2, 10oplecon1b 34016 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( (  ._|_  `  X ) 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
406, 21, 9, 39syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  <->  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
4138, 40mpbid 210 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
421, 2, 7latmle1 15563 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
433, 42syl3an1 1261 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
441, 2, 10oplecon3b 34015 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
456, 9, 24, 44syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
4643, 45mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
471, 2, 7latmle2 15564 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
483, 47syl3an1 1261 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
491, 2, 10oplecon3b 34015 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
506, 9, 30, 49syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
521, 2, 19latjle12 15549 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B
) )  ->  (
( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y
) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
534, 15, 18, 12, 52syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5446, 51, 53mpbi2and 919 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )
551, 2, 4, 12, 21, 41, 54latasymd 15544 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   occoc 14563   joincjn 15431   meetcmee 15432   Latclat 15532   OPcops 33987   OLcol 33989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-poset 15433  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-lat 15533  df-oposet 33991  df-ol 33993
This theorem is referenced by:  oldmm2  34033  oldmm3N  34034  cmtcomlemN  34063  cmtbr2N  34068  omlfh1N  34073  cvrexch  34234  lhpmod2i2  34852  lhpmod6i1  34853  doca2N  35941  djajN  35952
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