Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj2 Structured version   Unicode version

Theorem oldmj2 35090
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj2 26575 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmj2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmj2
StepHypRef Expression
1 olop 35082 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
2 oldmm1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 oldmm1.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
42, 3opoccl 35062 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
51, 4sylan 471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
653adant3 1016 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
7 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 oldmm1.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
92, 7, 8, 3oldmj1 35089 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )
106, 9syld3an2 1275 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )
112, 3opococ 35063 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
121, 11sylan 471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
13123adant3 1016 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
1413oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  =  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
1510, 14eqtrd 2498 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   occoc 14720   joincjn 15700   meetcmee 15701   OPcops 35040   OLcol 35042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 15684  df-poset 15702  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-lat 15803  df-oposet 35044  df-ol 35046
This theorem is referenced by:  oldmj4  35092  latmassOLD  35097  cmtcomlemN  35116
  Copyright terms: Public domain W3C validator