Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj1 Structured version   Unicode version

Theorem oldmj1 33893
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 26109 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmj1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmj1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 oldmm1.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 oldmm1.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
51, 2, 3, 4oldmm4 33892 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( X  .\/  Y ) )
65fveq2d 5861 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  (  ._|_  `  ( X  .\/  Y
) ) )
7 olop 33886 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
873ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
9 ollat 33885 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
1093ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
111, 4opoccl 33866 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
127, 11sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
13123adant3 1011 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
141, 4opoccl 33866 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
157, 14sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
16153adant2 1010 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
171, 3latmcl 15528 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
1810, 13, 16, 17syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
191, 4opococ 33867 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
208, 18, 19syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )
216, 20eqtr3d 2503 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   occoc 14552   joincjn 15420   meetcmee 15421   Latclat 15521   OPcops 33844   OLcol 33846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-poset 15422  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-lat 15522  df-oposet 33848  df-ol 33850
This theorem is referenced by:  oldmj2  33894  oldmj3  33895  cmtbr2N  33925  omlfh1N  33930  omlfh3N  33931  cvrexch  34091  poldmj1N  34599  lhpmod2i2  34709  lhpmod6i1  34710  djajN  35809
  Copyright terms: Public domain W3C validator