Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj1 Structured version   Unicode version

Theorem oldmj1 32219
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 26847 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmj1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmj1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 oldmm1.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 oldmm1.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
51, 2, 3, 4oldmm4 32218 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( X  .\/  Y ) )
65fveq2d 5852 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  (  ._|_  `  ( X  .\/  Y
) ) )
7 olop 32212 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
873ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
9 ollat 32211 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
1093ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
111, 4opoccl 32192 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
127, 11sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
13123adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
141, 4opoccl 32192 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
157, 14sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
16153adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
171, 3latmcl 16004 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
1810, 13, 16, 17syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
191, 4opococ 32193 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
208, 18, 19syl2anc 659 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )
216, 20eqtr3d 2445 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   occoc 14915   joincjn 15895   meetcmee 15896   Latclat 15997   OPcops 32170   OLcol 32172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15879  df-poset 15897  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-lat 15998  df-oposet 32174  df-ol 32176
This theorem is referenced by:  oldmj2  32220  oldmj3  32221  cmtbr2N  32251  omlfh1N  32256  omlfh3N  32257  cvrexch  32417  poldmj1N  32925  lhpmod2i2  33035  lhpmod6i1  33036  djajN  34137
  Copyright terms: Public domain W3C validator